메넬라오스 정리

메넬라오스 정리 (Menelaus' Theorem)는 삼각형과 한 직선이 만날 때 성립하는 기하학 정리이다. 평면 위에 삼각형 ABC가 주어져 있고, 이 삼각형의 변 AB, BC, CA (또는 그 연장선)를 각각 점 P, Q, R이 지난다고 하자. 이때 세 점 P, Q, R이 한 직선 위에 있을 필요충분조건은 다음과 같다:

(AP/PB) * (BQ/QC) * (CR/RA) = 1

여기서 선분 AP/PB 등은 방향을 가진 비율로 해석해야 한다. 즉, 점 P가 선분 AB 위에 있으면 AP/PB는 양수이고, P가 AB의 연장선 위에 있으면 음수이다. 이러한 부호 규칙을 적용하면 메넬라오스 정리는 점 P, Q, R의 위치에 관계없이 항상 성립한다.

증명

메넬라오스 정리는 다양한 방법으로 증명할 수 있다. 대표적인 증명 방법은 점 A, B, C에서 직선 PQR에 내린 수선의 발을 각각 A', B', C'이라 하고, 닮음비율을 이용하는 것이다. 삼각형 APA'와 BPB', BQB'와 CQC', CRC'와 ARA'는 각각 닮음이므로 다음이 성립한다.

AP/PB = AA'/BB' BQ/QC = BB'/CC' CR/RA = CC'/AA'

위 세 식을 모두 곱하면 (AP/PB) * (BQ/QC) * (CR/RA) = (AA'/BB') * (BB'/CC') * (CC'/AA') = 1 이 되어 메넬라오스 정리가 증명된다.

역

메넬라오스 정리의 역 또한 성립한다. 즉, 삼각형 ABC의 변 AB, BC, CA (또는 그 연장선) 위에 각각 점 P, Q, R이 있고, (AP/PB) * (BQ/QC) * (CR/RA) = 1 이 성립하면 세 점 P, Q, R은 한 직선 위에 있다.

활용

메넬라오스 정리는 기하학 문제를 푸는데 유용하게 사용될 수 있다. 특히 한 직선 위에 있는 세 점을 찾는 문제나, 선분의 길이의 비를 구하는 문제에 효과적이다. 체바 정리와 함께 사용되는 경우가 많다.