멱영 리 대수

멱영 리 대수 (영어: nilpotent Lie algebra)는 리 대수의 일종으로, 하강 중심열이 유한 번만에 0이 되는 리 대수를 말한다. 즉, 리 대수 $\mathfrak{g}$의 하강 중심열이 다음과 같이 정의될 때,

$\mathfrak{g}0 = \mathfrak{g}$ $\mathfrak{g}{i+1} = [\mathfrak{g}, \mathfrak{g}_i]$

어떤 자연수 $n$에 대해 $\mathfrak{g}_n = {0}$이면 $\mathfrak{g}$는 멱영 리 대수이다.

정의

보다 엄밀하게, 리 대수 $\mathfrak{g}$가 멱영이라는 것은, 모든 $x \in \mathfrak{g}$에 대해 수반 사상 (adjoint map) $ad_x : \mathfrak{g} \rightarrow \mathfrak{g}$, $y \mapsto [x, y]$가 멱영 연산자라는 것과 동치이다. 즉, 충분히 큰 자연수 $k$에 대해 $(ad_x)^k = 0$ 이다. 엥겔 정리에 따르면, 유한 차원 리 대수의 경우, 이 정의는 하강 중심열을 이용한 정의와 동치이다.

성질

• 멱영 리 대수의 모든 부분 리 대수와 몫 리 대수는 멱영이다.
• 멱영 리 대수는 가해 리 대수이다. (역은 성립하지 않음)
• 멱영 리 대수의 중심은 0이 아니다. (자명하지 않은 멱영 리 대수는 항상 중심을 가진다.)
• 모든 멱영 리 대수는 멱등 리 대수이다.

예시

• 아벨 리 대수 (모든 리 괄호가 0인 리 대수)
• 하이젠베르크 대수 (Heisenberg algebra)
• 엄격한 상삼각 행렬로 이루어진 리 대수

응용

멱영 리 대수는 리 군론, 표현론, 미분기하학 등 다양한 분야에서 중요한 역할을 한다. 특히 멱영 리 군은 멱영 리 대수를 리 대수로 가지는 리 군이며, 해석학 및 수론 분야에서도 중요한 연구 대상이다.