라플라스 전개

라플라스 전개(Laplace expansion), 또는 여인수 전개는 행렬식을 계산하는 방법 중 하나로, 주어진 행렬의 특정 행 또는 열을 기준으로 행렬식을 더 작은 크기의 행렬식들의 합으로 표현하는 방식이다. 이 방법은 특히 큰 행렬의 행렬식을 계산할 때 유용하며, 재귀적으로 적용하여 행렬식을 계산할 수 있다.

정의

n × n 정사각행렬 A에 대하여, i번째 행과 j번째 열을 제거하여 얻은 (n-1) × (n-1) 행렬의 행렬식을 소행렬식(minor)이라 하고, 이를 Mᵢⱼ로 표기한다. 여인수(cofactor)는 소행렬식에 부호 (-1)ⁱ⁺ʲ를 곱한 값으로, Cᵢⱼ = (-1)ⁱ⁺ʲ Mᵢⱼ로 정의된다.

라플라스 전개는 다음과 같이 표현된다.

• i번째 행을 기준으로 전개: det(A) = Σ(j=1 to n) aᵢⱼ Cᵢⱼ
• j번째 열을 기준으로 전개: det(A) = Σ(i=1 to n) aᵢⱼ Cᵢⱼ

여기서 aᵢⱼ는 행렬 A의 i번째 행, j번째 열에 있는 원소를 나타낸다.

계산 방법

1. 행렬 A에서 전개할 행 또는 열을 선택한다. 계산의 편의성을 위해 0이 많이 포함된 행 또는 열을 선택하는 것이 유리하다.
2. 선택한 행 또는 열의 각 원소에 대해 여인수를 계산한다. 여인수는 해당 원소가 속한 행과 열을 제거한 후 남은 행렬의 행렬식에 적절한 부호를 곱하여 얻는다.
3. 각 원소와 해당 원소의 여인수를 곱한 후, 이 값들을 모두 더한다. 이 합이 행렬 A의 행렬식이다.

예시

다음 3x3 행렬 A를 예로 들어보자.

A = | 1  2  3 |
    | 4  5  6 |
    | 7  8  9 |

1행을 기준으로 라플라스 전개를 하면 다음과 같다.

det(A) = 1 * C₁₁ + 2 * C₁₂ + 3 * C₁₃

C₁₁ = (-1)^(1+1) * det(|5 6| |8 9|) = (59 - 68) = -3

C₁₂ = (-1)^(1+2) * det(|4 6| |7 9|) = -(49 - 67) = 6

C₁₃ = (-1)^(1+3) * det(|4 5| |7 8|) = (48 - 57) = -3

따라서 det(A) = 1*(-3) + 2*(6) + 3*(-3) = -3 + 12 - 9 = 0

활용

라플라스 전개는 행렬식 계산 외에도 다양한 분야에서 활용된다.

• 역행렬 계산: 수반행렬을 이용하여 역행렬을 계산할 때 여인수가 사용된다.
• 선형 방정식 해 구하기: 크래머 법칙을 이용하여 선형 방정식의 해를 구할 때 행렬식이 사용된다.
• 고유값 및 고유벡터 계산: 특성방정식을 풀 때 행렬식을 계산해야 한다.

라플라스 전개는 행렬식을 계산하는 강력한 도구이며, 선형대수학의 중요한 개념 중 하나이다.