급수

급수는 무한히 많은 수열의 항들을 더하는 연산이다. 수열 ${a_n}_{n=1}^{\infty}$ 에 대해, 급수는 다음과 같이 표현된다.

$\sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots$

여기서 $a_n$은 수열의 n번째 항을 나타낸다. 급수의 값은 부분합의 극한값으로 정의된다. N번째 부분합 $S_N$은 수열의 처음 N개 항의 합으로 다음과 같이 표현된다.

$S_N = \sum_{n=1}^{N} a_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_N$

만약 $\lim_{N \to \infty} S_N = S$ 인 유한한 값 S가 존재하면, 급수는 수렴한다고 하며, 그 값은 S이다. 그렇지 않으면 급수는 발산한다고 한다.

급수의 수렴 여부와 수렴값은 수열 ${a_n}$의 성질에 따라 결정된다. 대표적인 급수의 예로는 등비급수, 조화급수, 거듭제곱급수 등이 있다. 등비급수는 각 항이 일정한 비율로 증가 또는 감소하는 급수이며, 조화급수는 역수의 합으로 이루어진 급수이다. 거듭제곱급수는 변수의 거듭제곱의 합으로 이루어진 급수이며, 함수의 급수 전개에 널리 사용된다.

급수의 수렴 판정을 위한 다양한 판정법이 존재한다. 비교판정법, 비판정법, 적분판정법, 교대급수판정법 등이 있으며, 급수의 성질과 수렴 여부를 판별하는 데 사용된다. 특히, 절대수렴과 조건수렴의 개념은 급수의 수렴성을 분석하는 데 중요한 역할을 한다. 절대수렴하는 급수는 항의 순서를 바꾸어도 합이 변하지 않지만, 조건수렴하는 급수는 항의 순서를 바꾸면 합이 달라질 수 있다.

급수는 미적분학, 해석학, 물리학 등 다양한 분야에서 중요한 개념으로 사용된다. 특히, 함수의 근사, 미분방정식 해석, 물리 현상 모델링 등에 널리 응용된다.