극한점

극한점은 수학에서 위상 공간의 한 부분 집합에 대해 정의되는 개념입니다. 집합 A의 극한점(limit point, accumulation point, cluster point)이란, 그 점을 중심으로 하는 임의의 열린 집합이 A의 원소를 적어도 하나 포함하되, 그 점 자체를 제외한 원소를 포함하는 점을 의미합니다. 즉, 그 점의 임의의 가까운 окрестность에 A의 다른 점들이 무수히 많이 존재한다는 뜻입니다.

정의

위상 공간 X의 부분집합 A와 점 x ∈ X에 대해, x가 A의 극한점이라는 것은 다음 조건을 만족하는 것입니다:

• x를 포함하는 임의의 열린 집합 U에 대해, (U ∩ A) - {x} ≠ ∅이다.

이것은 x의 모든 열린 окрестность U에 대해, U가 x 이외의 A의 점을 적어도 하나 포함한다는 것과 동치입니다.

예시

• 실수 집합 R에서, 구간 (0, 1)의 극한점은 구간 [0, 1]에 속하는 모든 점입니다. 특히 0과 1도 (0, 1)의 극한점입니다.
• 집합 {1/n | n은 자연수}의 극한점은 0입니다.
• 유리수 집합 Q의 극한점은 실수 집합 R 전체입니다. 이는 유리수의 조밀성 때문입니다.

관련 개념

• 고립점(isolated point): 집합 A의 점 x가 A의 극한점이 아니면, x는 A의 고립점이라고 합니다. 즉, x를 포함하는 어떤 열린 집합 U가 존재하여 U ∩ A = {x}가 됩니다.
• 폐포(closure): 집합 A의 폐포는 A에 A의 모든 극한점을 추가한 집합입니다. A의 폐포는 A를 포함하는 가장 작은 닫힌 집합입니다.
• 도집합(derived set): 집합 A의 도집합은 A의 모든 극한점의 집합입니다.

성질

• 집합 A의 극한점은 반드시 A에 속할 필요는 없습니다.
• 집합 A가 닫힌 집합이라는 것은 A가 자신의 모든 극한점을 포함한다는 것과 동치입니다.
• 집합 A의 폐포는 A와 A의 도집합의 합집합입니다.

극한점은 위상수학, 해석학 등 다양한 분야에서 중요한 역할을 하며, 집합의 성질을 파악하는 데 유용한 도구로 사용됩니다.