그란디 급수

그란디 급수 (Grandi's series)는 다음과 같은 무한 급수를 의미합니다.

1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + ...

이 급수는 이탈리아의 수학자이자 철학자인 귀도 그란디(Guido Grandi)의 이름을 따서 명명되었습니다. 그란디는 1703년에 이 급수를 연구하며 흥미로운 결과를 제시했습니다.

그란디 급수는 수렴하지 않는 발산 급수입니다. 즉, 부분합이 특정한 값으로 수렴하지 않고 진동합니다. 부분합을 나열하면 다음과 같습니다.

• S₁ = 1
• S₂ = 1 − 1 = 0
• S₃ = 1 − 1 + 1 = 1
• S₄ = 1 − 1 + 1 − 1 = 0
• ...

따라서 부분합은 0과 1 사이를 계속해서 진동합니다.

그란디 급수는 다양한 방법으로 해석될 수 있습니다. 예를 들어, 체사로 합(Cesàro summation)을 사용하면 이 급수의 합을 1/2로 정의할 수 있습니다. 또한, 오일러 합(Euler summation)과 같은 다른 정칙화 방법을 통해서도 1/2라는 값을 얻을 수 있습니다.

그란디 급수는 발산 급수의 개념을 이해하고 다양한 정칙화 방법을 탐구하는 데 중요한 예시로 활용됩니다. 물리학에서도 특정한 상황에서 그란디 급수와 유사한 형태의 급수가 등장하며, 이때 정칙화 방법을 통해 유한한 값을 얻어내는 경우가 있습니다.