허수

허수 (虛數, 영어: imaginary number)는 [[제곱]]하여 [[음수]]가 되는 [[실수]]가 아닌 [[복소수]]를 말한다. 실수 a와 0이 아닌 실수 b에 대하여 bi (b ≠ 0) 꼴로 나타낼 수 있다. 여기서 i는 제곱하면 -1이 되는 수, 즉 i² = -1을 만족하는 수로, 허수 단위라고 부른다. 허수는 실수의 개념을 확장하여 복소수 체계를 완성하는 데 필수적인 역할을 한다.

역사 허수는 역사적으로 [[방정식]]의 해를 구하는 과정에서 등장했으며, 처음에는 실제 존재하지 않는 "상상의 수(imaginary)"로 여겨졌다. 16세기에 이탈리아 수학자 [[제롤라모 카르다노]]와 라파엘 봄벨리가 [[3차 방정식]]의 해를 다루면서 허수의 필요성이 제기되었다. 이후 여러 수학자들의 연구를 통해 점차 정립되었다.

정의 허수 단위 i는 i² = -1을 만족하는 수로 정의된다. 0이 아닌 실수 b에 대해 bi 꼴로 나타내어지는 복소수를 순허수(purely imaginary number)라고 한다. (참고: 실수 a와 순허수 bi의 합인 a + bi 꼴의 수를 복소수라고 한다. 순허수는 복소수 중 실수부가 0인 경우에 해당한다.) 넓은 의미에서 허수는 실수가 아닌 모든 복소수(a + bi에서 b ≠ 0인 경우)를 포함하기도 하나, 일반적으로 '허수'라고 할 때는 순허수를 지칭하는 경우가 많다. 이 설명에서는 주로 순허수에 초점을 맞춘다.

성질 허수 단위 i의 [[거듭제곱]]은 다음과 같은 순환성을 갖는다:

• i¹ = i
• i² = -1
• i³ = i² × i = -i
• i⁴ = (i²)² = (-1)² = 1 이후의 거듭제곱은 이 네 값 중 하나로 순환한다.

복소수와의 관계 허수는 실수와 함께 [[복소수]] 체계를 이룬다. 복소수 z는 실수부와 허수부로 이루어진 z = a + bi (a, b는 실수) 형태로 표현된다. 이때 허수부 bi는 허수이며, 특히 실수부 a가 0이 아닐 때는 순허수가 아닌 복소수이다. 실수부 a가 0이고 허수부 b가 0이 아닐 때, 즉 bi (b ≠ 0) 형태의 수는 순허수이며, 이는 좁은 의미의 허수로 간주되기도 한다.

기하학적 의미 실수는 [[수직선]] 위에 나타낼 수 있지만, 허수는 수직선 상에 나타낼 수 없다. 대신, 복소수는 [[복소평면]] (Complex Plane)이라는 2차원 평면 상의 한 점으로 나타낼 수 있으며, 허수 단위 i를 곱하는 것은 원점을 중심으로 90도 회전하는 [[변환]]으로 해석될 수 있다. 순허수는 이 복소평면의 '허수축' 상에 위치한다.

활용 허수와 복소수는 순수 [[수학]]뿐만 아니라 [[물리학]], [[공학]] 등 다양한 분야에서 매우 유용하게 활용된다. 특히 [[전기 공학]] (교류 회로 분석), [[양자 역학]], [[신호 처리]], [[제어 이론]] 등에서 복잡한 계산을 간소화하고 현상을 모델링하는 데 필수적이다.

표기 수학에서는 일반적으로 허수 단위를 i로 표기한다. 하지만 전기 공학 분야에서는 [[전류]]를 i로 표기하는 경우가 많아 혼동을 피하기 위해 허수 단위를 j로 표기하기도 한다.