허수

허수는 제곱하여 음수가 되는 수를 말한다. 실수와 구분하여, 보통 i (또는 j, 특히 전기 공학 분야에서) 로 표기하며, i² = -1 로 정의된다. 허수는 실수와 마찬가지로, 산술 연산(+, -, ×, ÷)이 가능하며, 실수와 허수를 모두 포함하는 수 체계를 복소수 체계라고 한다.

복소수 z 는 실수부 a 와 허수부 b 를 사용하여 z = a + bi 형태로 표현된다. 여기서 a와 b는 실수이며, b가 0이 아닐 때 z는 허수가 된다. b가 0일 경우, z는 실수가 된다. 따라서 실수는 허수의 특수한 경우로 볼 수 있다.

허수의 개념은 이차 방정식과 같은 고차 방정식의 해를 구하는 과정에서 도입되었다. 실수의 범위 내에서는 해를 갖지 않는 방정식들도 허수를 도입하면 해를 구할 수 있게 된다. 예를 들어, 방정식 x² + 1 = 0 의 해는 x = ±i 이다.

허수는 수학, 물리학, 공학 등 다양한 분야에서 활용되며, 특히 전기 공학, 양자역학, 신호 처리 등에서 중요한 역할을 한다. 복소수 평면을 이용하면 허수를 기하학적으로 표현할 수 있으며, 이는 복소수의 성질을 이해하는 데 도움을 준다.