파이겐바움 함수

파이겐바움 함수는 다음과 같은 형태로 정의되는 일변수 함수족을 지칭한다:

• f(x) = μx(1 - x)

여기서 μ는 매개변수이며, 일반적으로 0과 4 사이의 값을 갖는다. 이 함수는 특히 혼돈 이론과 역학계 연구에서 중요한 역할을 한다.

특징

파이겐바움 함수는 이차 함수이며, 간단한 형태에도 불구하고 다양한 동적 거동을 보인다. μ 값의 변화에 따라 함수는 고정점, 주기적인 궤도, 그리고 혼돈 상태를 나타낼 수 있다. 특히, μ 값이 증가함에 따라 궤도의 주기가 두 배로 늘어나는 주기 배가(period-doubling) 현상이 나타나며, 이 주기 배가의 비율은 파이겐바움 상수 δ ≈ 4.6692 와 관련된다.

응용

파이겐바움 함수는 단순함에도 불구하고 다양한 복잡계의 모델링에 사용된다. 인구 역학, 생태학, 경제학 등 다양한 분야에서 혼돈 현상을 설명하는 데 활용된다. 또한, 파이겐바움 상수는 다양한 비선형 시스템에서 나타나는 보편적인 상수로서, 파이겐바움 함수 연구의 중요성을 더욱 부각시킨다.

참고 문헌

• Feigenbaum, M. J. (1978). Quantitative Universality for a Class of Nonlinear Transformations. Journal of Statistical Physics, 19(1), 25-52.