이산 값매김환
이산 값매김환 (Discrete Valuation Ring, DVR)은 가환대수학에서 중요한 개념으로, 정역의 특수한 형태이다. 구체적으로, 이산 값매김환은 다음 조건을 만족하는 정역 R이다.
- R은 뇌터 정역이다.
- R의 극대 아이디얼은 주 아이디얼이다.
- R은 정역이 아니다.
이러한 조건을 만족하는 정역 R은 값매김환이며, 값매김군은 정수의 덧셈군 Z와 동형이다. 즉, R에는 각 0이 아닌 원소 x에 대해 정수 *v(x)*를 대응시키는 값매김 v가 존재하며, 다음 성질을 만족한다.
- v(xy) = v(x) + v(y)
- v(x + y) ≥ min(v(x), v(y))
- v(x) = ∞ if and only if x = 0
이산 값매김환의 예로는 p-진수 정수환 Zp, 형식 멱급수환 k[[x]] (k는 체), 대수적 수체의 정수환의 локализация 등이 있다.
이산 값매김환은 대수적 정수론, 대수기하학 등 다양한 분야에서 활용된다. 특히, 대수적 수체의 분해군과 관성군을 연구하는 데 중요한 역할을 하며, 대수 곡선의 특이점을 연구하는 데에도 사용된다.