외심
외심 (外心, circumcenter)은 삼각형의 세 변의 수직이등분선이 만나는 점이다. 이 점은 삼각형의 세 꼭짓점을 지나는 원, 즉 외접원의 중심이 된다. 따라서 외심에서 삼각형의 각 꼭짓점까지의 거리는 모두 같다.
정의 및 성질
- 정의: 삼각형의 세 변의 수직이등분선의 교점.
- 외접원: 외심을 중심으로 하고 삼각형의 세 꼭짓점을 지나는 원. 외심은 외접원의 중심이다.
- 거리: 외심에서 각 꼭짓점까지의 거리는 외접원의 반지름으로 모두 동일하다.
- 위치: 삼각형의 종류에 따라 외심의 위치가 달라진다.
- 예각삼각형: 삼각형 내부
- 직각삼각형: 빗변의 중점
- 둔각삼각형: 삼각형 외부
외심의 좌표
좌표평면 상에서 세 점의 좌표가 주어졌을 때 외심의 좌표를 구하는 방법은 다음과 같다.
- 외심에서 각 꼭짓점까지의 거리가 같다는 점을 이용하여 식을 세운다.
- 세 점의 좌표를 대입하여 연립방정식을 구성한다.
- 연립방정식을 풀어 외심의 좌표를 구한다.
활용
외심은 삼각형의 기하학적 성질을 이해하고 문제를 해결하는 데 유용하게 사용된다. 특히, 외접원의 반지름을 구하거나 삼각형의 각 꼭짓점까지의 거리를 계산하는 데 활용된다. 또한, 좌표기하 문제에서 삼각형의 위치 관계를 파악하는 데 도움을 준다.