아쉬테카르 변수

아쉬테카르 변수는 루프 양자 중력 이론에서 중요한 역할을 하는 변수들의 집합이다. 물리학자 아바이 아쉬테카르(Abhay Ashtekar)에 의해 1986년에 도입되었으며, 일반 상대성 이론을 양자화하는 과정에서 기존의 어려움을 극복하는 데 기여했다.

아쉬테카르 변수는 기존의 계량 텐서 대신 접속(connection)과 삼중(triad)이라는 새로운 변수를 사용하여 중력장을 기술한다. 구체적으로, 아쉬테카르 변수는 다음 두 가지로 구성된다.

• 접속 (Ashtekar-Barbero connection): 일반적으로 Aᵢᵃ 로 표기되며, SU(2) 게이지 접속이다. 일반 상대성 이론의 시공간 곡률을 나타내는 역할을 한다. 여기서 i는 공간 좌표의 인덱스이고, a는 SU(2) 게이지 그룹의 인덱스이다.
• 삼중 (densitized triad): 일반적으로 Eᵃᵢ 로 표기되며, 공간 메트릭의 제곱근과 관련된 밀도 가중된 벡터장이다. 이는 공간의 기하학적 구조를 나타낸다. 여기서 a는 SU(2) 게이지 그룹의 인덱스이고, i는 공간 좌표의 인덱스이다.

아쉬테카르 변수의 도입은 일반 상대성 이론을 SU(2) 게이지 이론과 유사한 형태로 재구성하는 것을 가능하게 했다. 이러한 재구성은 양자화를 위한 정준 변수(canonical variables)를 찾는 데 도움을 주었으며, 루프 양자 중력 이론의 발전에 중요한 토대를 마련했다. 그러나 아쉬테카르 변수는 복소수 값을 가지는 접속을 사용한다는 점에서 초기에는 논란이 있었다. 이후 복소수 문제를 해결하기 위한 다양한 시도가 이루어졌으며, 현재는 실수 값을 가지는 변형된 아쉬테카르 변수(예: Barbero-Immirzi connection)가 널리 사용되고 있다.

루프 양자 중력 이론은 아쉬테카르 변수를 사용하여 시공간의 양자화를 시도하며, 이를 통해 블랙홀 특이점이나 빅뱅과 같은 고전적인 일반 상대성 이론의 문제점을 해결하고자 한다.