슈어 보수행렬

슈어 보수행렬(Schur complement)은 행렬의 특정 블록에 대한 축약된 표현으로, 행렬 분석, 선형 시스템 해법, 통계학 등 다양한 분야에서 활용되는 개념이다. 주어진 행렬을 다음과 같이 블록 행렬로 나타낼 수 있다고 가정하자.

M = | A  B |
    | C  D |

여기서 A와 D는 정사각행렬이고, A가 가역행렬이라고 가정하면, A에 대한 D의 슈어 보수행렬은 다음과 같이 정의된다.

S = D - CA⁻¹B

슈어 보수행렬은 원래 행렬 M의 정보를 부분적으로 담고 있으며, M의 가역성, 고윳값, 행렬식 등과 관련한 중요한 성질을 파악하는 데 도움을 준다. 특히, M이 양정치 행렬일 경우, A와 슈어 보수행렬 S 모두 양정치 행렬이 된다는 성질은 최적화 문제 등에서 유용하게 사용된다.

슈어 보수행렬은 선형 시스템의 해를 구하는 과정에서도 활용된다. 예를 들어, 다음 선형 시스템을 고려해보자.

Ax + By = u
Cx + Dy = v

여기서 x와 y는 벡터이고, u와 v는 상수 벡터이다. A가 가역행렬이라면, 첫 번째 방정식에서 x를 구하여 두 번째 방정식에 대입하면 y에 대한 방정식을 얻을 수 있으며, 이때 y에 대한 방정식의 계수 행렬이 바로 슈어 보수행렬이다.

통계학에서는 조건부 확률 분포를 구할 때 슈어 보수행렬이 사용된다. 다변량 정규 분포에서 특정 변수들의 조건부 분포를 구할 때, 공분산 행렬의 슈어 보수행렬이 조건부 분포의 공분산 행렬로 나타난다.

이 외에도 슈어 보수행렬은 전기 회로망 분석, 제어 이론, 게임 이론 등 다양한 분야에서 응용되고 있다.