별모양 집합

별모양 집합 (영어: star-convex set)은 어떤 점을 기준으로 그 집합 내의 모든 점이 선분으로 연결될 수 있는 집합이다. 다시 말해, 집합 S가 별모양 집합이라는 것은 S 내에 적어도 하나의 점 x가 존재하여, S 내의 모든 점 y에 대해 선분 [x, y]가 S에 포함된다는 의미이다. 이러한 점 x를 S의 별점 또는 핵심점이라고 부른다.

정의

집합 S가 별모양 집합이라는 것은 다음 조건을 만족하는 점 x ∈ S가 존재한다는 것이다:

∀y ∈ S, [x, y] ⊆ S

여기서 [x, y]는 점 x와 점 y를 잇는 선분을 의미한다. 즉, [x, y] = {tx + (1-t)y | 0 ≤ t ≤ 1}.

예시

• 볼록 집합은 별모양 집합이다. 볼록 집합 내의 모든 점은 별점이 될 수 있다.
• 원은 별모양 집합이다. 원의 중심은 별점이 된다.
• 십자 모양은 별모양 집합이다. 십자의 교차점은 별점이 된다.
• 별 모양의 도형은 별모양 집합이다.

성질

• 별모양 집합은 연결 집합이다.
• 별모양 집합의 합집합은 별모양 집합이 아닐 수 있다.
• 별모양 집합의 교집합은 별모양 집합일 수 있지만, 항상 그런 것은 아니다.
• 볼록 집합은 별모양 집합의 특별한 경우이다.

응용

별모양 집합은 최적화, 제어 이론, 기하학 등 다양한 분야에서 활용된다. 예를 들어, 특정 함수의 최적점을 찾거나, 특정 시스템의 안정성을 분석하는 데 사용될 수 있다.