반 더시터르 공간

반 더시터르 공간(anti-de Sitter space, AdS)은 아인슈타인 방정식의 진공해 중 하나로, 음의 우주 상수를 갖는 최대 대칭 공간이다. 이는 일반 상대성이론, 초끈 이론, 그리고 응집 물질 물리학에서 중요한 역할을 한다.

정의

반 더시터르 공간은 로렌츠 다양체로, 일정한 음의 스칼라 곡률을 갖는다. 이는 쌍곡 공간의 로렌츠 부호 버전에 해당하며, 긍정적 우주 상수를 갖는 더시터르 공간(de Sitter space)과 대조된다. n차원 반 더시터르 공간(AdSₙ)은 (n+1)차원 민코프스키 공간에 임베딩될 수 있으며, 다음과 같은 식으로 표현될 수 있다.

-X₀² + X₁² + ... + Xₙ₋₁² - Xₙ² = -L²

여기서 L은 AdS 공간의 곡률 반지름을 나타낸다.

특징

• 등거리군: 반 더시터르 공간은 등거리군 SO(2, n-1)을 가진다.
• 경계: 반 더시터르 공간은 시간과 같은 경계를 갖는다. 이는 특이한 성질로, AdS/CFT 대응성의 기반이 된다.
• 시간 여행: 반 더시터르 공간 자체는 시간 여행을 허용하지 않지만, 특정한 전역 식별을 통해 시간 여행이 가능한 공간을 구성할 수 있다.

응용

• AdS/CFT 대응성: 가장 중요한 응용 분야는 AdS/CFT 대응성(AdS/CFT correspondence)이다. 이는 반 더시터르 공간의 중력 이론이 그 경계에 존재하는 등각 장론(Conformal Field Theory, CFT)과 동등하다는 가설이다. 이를 통해 강하게 상호작용하는 양자장론을 연구하거나, 블랙홀의 양자적 성질을 탐구할 수 있다.
• 응집 물질 물리학: 반 더시터르 공간은 응집 물질 물리학에서 특이한 현상을 설명하는 데 사용된다. 예를 들어, AdS/CMT 대응성을 통해 초전도체, 페르미 액체 등 복잡한 시스템을 연구할 수 있다.
• 양자 중력: 반 더시터르 공간은 양자 중력 이론의 모델로 사용된다. AdS/CFT 대응성은 양자 중력에 대한 이해를 높이는 데 기여한다.

참고 문헌

• Maldacena, J. (1998). The large N limit of superconformal field theories and supergravity. Advances in Theoretical and Mathematical Physics, 2(2), 231-252.
• Witten, E. (1998). Anti-de Sitter space and holography. Advances in Theoretical and Mathematical Physics, 2(2), 253-291.