등변 코호몰로지
등변 코호몰로지는 대수적 위상수학 및 기하학에서 군 작용을 받는 공간의 위상적 성질을 연구하는 데 사용되는 코호몰로지 이론의 한 분야입니다. 기존의 코호몰로지가 공간 자체의 위상적 불변량을 포착하는 반면, 등변 코호몰로지는 군의 작용과 공간의 위상 사이의 상호작용을 고려합니다.
좀 더 구체적으로, 군 G가 공간 X에 작용할 때, X의 등변 코호몰로지, HGi(X; R)는 G-등변 코호몰로지라고도 하며, 특정 복합체의 코호몰로지로 정의됩니다. 가장 일반적인 방법은 X에 대해 자유롭고 추이적인 G-공간인 보편 G-공간 EG를 사용하는 것입니다. EG는 축약 가능하고, G가 자유롭게 작용하며, 이 작용은 추이적입니다. 이 때, X의 등변 코호몰로지는 몫 공간 (fiber bundle) (EG × X) / G 의 코호몰로지로 정의됩니다. 여기서 G는 대각선으로 EG × X 에 작용합니다. 즉, g · (e, x) = (g · e, g · x) 입니다.
등변 코호몰로지는 X의 위상적 성질과 G의 작용에 대한 정보를 모두 담고 있습니다. 예를 들어, G의 작용이 자유롭다면, HGi(X; R)는 몫 공간 X/G의 코호몰로지와 일치합니다. 그러나 G의 작용이 자유롭지 않다면, 등변 코호몰로지는 X/G의 코호몰로지와는 다른 정보를 제공하며, G의 작용에 의해 발생하는 특이점을 고려합니다.
등변 코호몰로지는 기하학적 불변량 이론, 끈 이론, 수리물리학 등 다양한 분야에서 응용됩니다. 특히, 모듈라이 공간의 연구, 대칭성을 가진 다양체의 분류, 양자장론의 계산 등에서 중요한 도구로 사용됩니다.