달랑베르의 역설

달랑베르의 역설 (D'Alembert's paradox)은 유체역학에서 이상적인 비점성, 비압축성 유동 내에서 물체가 움직일 때, 물체에 작용하는 항력이 0이 된다는 역설적인 현상을 말한다. 18세기에 장 르 롱 달랑베르에 의해 처음 제시되었으며, 실제 유체의 흐름에서는 항력이 발생하는 현상과 상반되기 때문에 '역설'이라는 이름이 붙었다.

상세 설명

달랑베르의 역설은 다음과 같은 이상적인 조건에서 발생한다.

• 비점성 유체: 유체의 점성이 없어 내부 마찰이 존재하지 않는다.
• 비압축성 유체: 유체의 밀도가 일정하여 압력 변화에 따른 밀도 변화가 없다.
• 정상 유동: 유체의 속도와 압력이 시간에 따라 변하지 않는다.
• 비회전 유동: 유체의 회전 성분이 없다.

이러한 조건 하에서 물체가 유체 내에서 등속으로 움직일 때, 물체 앞쪽에서 발생하는 압력 증가와 뒤쪽에서 발생하는 압력 감소가 정확히 상쇄되어 알짜 힘, 즉 항력이 0이 된다. 이는 베르누이 방정식과 연속 방정식을 통해 수학적으로 증명될 수 있다.

역설의 해결

실제 유체는 점성을 가지고 있으며, 물체 표면 근처에서는 점성에 의해 속도가 0이 되는 경계층이 형성된다. 이 경계층은 유동 박리를 유발하고, 압력 분포를 변화시켜 항력을 발생시킨다. 또한, 물체의 속도가 증가하면 유동이 불안정해져 난류가 발생하고, 이는 항력을 더욱 증가시킨다.

따라서 달랑베르의 역설은 이상적인 유체 모델의 한계를 보여주는 것으로, 실제 유체의 흐름을 정확하게 예측하기 위해서는 점성, 압축성, 난류 등의 영향을 고려해야 한다. 나비에-스토크스 방정식은 점성을 고려한 유체 운동을 기술하는 방정식으로, 실제 유체 흐름을 분석하는 데 사용된다.