극한

극한 (極限, Limit)은 수학에서 어떤 함수나 수열이 특정 값에 한없이 가까워지는 상태를 나타내는 개념이다. 즉, 변수가 특정 값 또는 무한대로 접근할 때, 함수 또는 수열의 값이 어떤 값에 수렴하는지를 분석하는 데 사용된다.

개념 및 정의

• 함수의 극한: 함수 f(x)에서 x가 a에 가까워질 때 f(x)가 L에 가까워지면, "x가 a로 갈 때 f(x)의 극한은 L이다"라고 표현하며, lim_(x→a) f(x) = L 로 나타낸다. 여기서 '가까워진다'는 개념은 엄밀하게 ε-δ 논법으로 정의된다. 즉, 임의의 양수 ε에 대해, 적절한 양수 δ가 존재하여 |x - a| < δ 이면 |f(x) - L| < ε 이 성립해야 한다.

• 수열의 극한: 수열 {a_n}에서 n이 무한대로 커질 때 a_n이 L에 가까워지면, "수열 {a_n}은 L로 수렴한다"라고 표현하며, lim_(n→∞) a_n = L 로 나타낸다. 마찬가지로, 임의의 양수 ε에 대해, 적절한 자연수 N이 존재하여 n > N 이면 |a_n - L| < ε 이 성립해야 한다.

활용

극한은 미적분학의 기초적인 개념으로서, 다음과 같은 분야에서 핵심적인 역할을 한다.

• 미분: 도함수의 정의는 극한을 이용하여 함수의 순간적인 변화율을 구하는 것이다.
• 적분: 정적분의 정의는 리만 합의 극한으로 정의되며, 함수의 넓이를 계산하는 데 사용된다.
• 연속성: 함수의 연속성은 특정 점에서 함수의 극한값이 함숫값과 일치하는지 여부로 판단한다.
• 급수: 무한 급수의 수렴 및 발산 여부를 판단하는 데 극한 개념이 사용된다.

특징

• 극한값은 존재할 수도 있고, 존재하지 않을 수도 있다.
• 좌극한과 우극한이 다를 경우, 극한값은 존재하지 않는다.
• 극한값은 유일하다 (존재한다면).
• 극한은 실해석학, 복소해석학 등 다양한 수학 분야에서 중요한 개념으로 활용된다.