곱셈적 함수

수론에서, 곱셈적 함수(multiplicative function)는 정수론적 함수 f로서, 다음 조건을 만족하는 함수이다.

• f(1) = 1
• 서로소인 두 정수 a와 b에 대해 f(ab) = f(a) f(b)가 성립한다.

만약 위의 조건이 모든 정수 a와 b에 대해 성립한다면, f는 완전 곱셈적 함수(completely multiplicative function)라고 한다.

예시

• 뫼비우스 함수 μ(n)은 곱셈적 함수이다.
• 오일러 피 함수 φ(n)은 곱셈적 함수이다.
• 디리클레 지표 χ(n)은 완전 곱셈적 함수이다.
• 약수 함수 σk(n)은 곱셈적 함수이다. 여기서 σk(n)은 n의 약수 d에 대해 d^k의 합을 나타낸다. (k는 복소수)
• n의 소인수 개수를 세는 함수 ω(n)은 곱셈적 함수가 아니다. (예: ω(6) = 2, ω(2) = 1, ω(3) = 1이지만, ω(6) ≠ ω(2)ω(3))

성질

• 곱셈적 함수의 값을 소수의 거듭제곱에 대해 알면, 함수의 모든 값은 계산할 수 있다. 예를 들어, n = p₁^k₁ * p₂^k₂ * ... * pᵣ^kᵣ (여기서 pᵢ는 서로 다른 소수)일 때, f(n) = f(p₁^k₁) * f(p₂^k₂) * ... * f(pᵣ^kᵣ)이다.
• 두 곱셈적 함수의 디리클레 합성곱은 곱셈적 함수이다.
• 만약 f가 곱셈적 함수이고 f(n)이 0이 아닌 값을 가지면, 1/f(n)도 곱셈적 함수이다.

활용

곱셈적 함수는 정수론에서 중요한 역할을 하며, 다양한 수론적 문제 해결에 사용된다. 특히, 디리클레 급수 및 해석적 정수론과 밀접한 관련이 있다.