편미분

편미분은 다변수 함수의 특정 변수에 대한 변화율을 구하는 방법입니다. 즉, 여러 변수를 가진 함수에서 특정 변수 하나만을 변수로 취급하고 나머지 변수들은 상수로 간주하여 미분하는 것을 의미합니다. 이는 다변수 함수의 미분 가능성을 판단하고, 함수의 극값이나 안장점을 찾는 데 중요한 역할을 합니다.

정의:

함수 f(x₁, x₂, ..., xₙ)이 주어졌을 때, 변수 xᵢ에 대한 편미분은 다음과 같이 정의됩니다.

∂f/∂xᵢ = lim (h→0) [f(x₁, x₂, ..., xᵢ + h, ..., xₙ) - f(x₁, x₂, ..., xᵢ, ..., xₙ)] / h

여기서 ∂는 '라운드 디'라고 읽으며, 편미분을 나타내는 기호입니다. 위 식은 xᵢ를 제외한 모든 변수를 고정시키고 xᵢ만 h만큼 변화시켰을 때 함수 값의 변화율을 나타냅니다.

표기법:

편미분은 다음과 같은 다양한 표기법으로 표현될 수 있습니다.

• ∂f/∂xᵢ
• fₓᵢ
• Dᵢf

계산 방법:

편미분은 특정 변수를 제외한 나머지 변수들을 상수로 취급하여 일반적인 미분 공식을 적용하여 계산합니다. 예를 들어, f(x, y) = x² + 2xy + y³이라는 함수가 있을 때, x에 대한 편미분은 y를 상수로 취급하여 다음과 같이 계산됩니다.

∂f/∂x = 2x + 2y

마찬가지로, y에 대한 편미분은 x를 상수로 취급하여 다음과 같이 계산됩니다.

∂f/∂y = 2x + 3y²

응용:

편미분은 다양한 분야에서 응용됩니다.

• 최적화 문제: 다변수 함수의 극값을 찾는데 사용됩니다. 경사하강법과 같은 알고리즘은 편미분을 이용하여 함수의 최소값을 찾아갑니다.
• 물리학: 전자기학, 유체역학 등 다양한 분야에서 물리량의 변화를 기술하는데 사용됩니다.
• 경제학: 생산함수의 한계 생산성을 분석하거나, 효용함수의 한계 효용을 분석하는데 사용됩니다.
• 공학: 제어 시스템 설계, 신호 처리 등 다양한 공학 분야에서 사용됩니다.

주의사항:

• 편미분은 특정 변수에 대한 변화율만을 나타내므로, 함수의 전체적인 변화를 파악하기 위해서는 모든 변수에 대한 편미분을 고려해야 합니다.
• 편미분이 존재한다고 해서 반드시 함수가 미분 가능한 것은 아닙니다.
• 고계 편미분은 편미분을 반복적으로 적용하여 계산할 수 있으며, 혼합 편미분(mixed partial derivative)의 경우, 특정 조건하에서 미분 순서가 바뀌어도 결과가 같습니다 (클레로 정리).