파투 보조정리

파투 보조정리(Fatou's lemma)는 르베그 적분 이론에서 중요한 정리 중 하나로, 함수의 열의 하극한(infimum limit)의 적분과 각 함수의 적분의 하극한 사이의 관계를 다룹니다. 이 정리는 수렴하지 않는 함수의 열에 대해서도 유용한 정보를 제공하며, 르베그 지배 수렴 정리와 같은 다른 중요한 정리들을 증명하는 데 사용됩니다.

정의:

측도 공간 (S, Σ, μ)에서 정의된 음이 아닌 가측 함수열 {f_n}이 주어졌을 때, 다음 부등식이 성립합니다.

∫ lim inf f_n dμ ≤ lim inf ∫ f_n dμ

여기서 lim inf f_n은 f_n의 하극한을 나타내며, 각 점 s ∈ S에서 lim inf f_n(s) = sup_k inf_{n≥k} f_n(s)로 정의됩니다.

설명:

파투 보조정리는 함수의 열의 하극한의 적분이 각 함수의 적분의 하극한보다 작거나 같다는 것을 말합니다. 즉, 함수의 열이 수렴하지 않더라도 그 하극한의 적분은 각 함수의 적분의 하극한을 넘어설 수 없다는 것입니다.

이 정리는 르베그 지배 수렴 정리와 달리, 함수의 열이 특정 함수에 수렴해야 한다는 조건이 필요하지 않습니다. 따라서, 함수의 열이 수렴하지 않거나, 수렴하더라도 지배 함수가 존재하지 않는 경우에도 파투 보조정리를 적용할 수 있습니다.

예시:

예를 들어, 단위 구간 [0, 1]에서 정의된 함수열 f_n(x) = n * χ_(0, 1/n)(x)를 생각해 봅시다. 여기서 χ_(0, 1/n)(x)는 구간 (0, 1/n)의 지시 함수입니다. 이 함수열은 점별로 0으로 수렴하지만, 각 함수의 적분은 1로 일정합니다. 따라서, lim inf f_n(x) = 0이고, ∫ lim inf f_n(x) dx = 0입니다. 반면, lim inf ∫ f_n(x) dx = 1입니다. 이 예시는 파투 보조정리의 부등식이 엄격하게 성립할 수 있음을 보여줍니다.

응용:

파투 보조정리는 확률론, 함수해석학, 편미분 방정식 등 다양한 분야에서 응용됩니다. 특히, 함수의 열의 수렴성을 증명하거나, 적분의 극한과 극한의 적분 순서를 바꾸는 데 사용됩니다. 또한, 르베그 지배 수렴 정리와 함께 사용하여 함수의 수렴성과 적분의 수렴성을 동시에 보장하는 데 활용됩니다.