진부분집합
진부분집합(Proper Subset)은 수학, 특히 집합론에서 사용되는 개념으로, 어떤 집합 A의 부분집합 중에서 A 자신을 제외한 나머지 부분집합을 의미한다. 다시 말해, 집합 A의 모든 원소가 집합 B에 포함되면서, 집합 B가 집합 A와 완전히 동일하지 않은 경우, 집합 A는 집합 B의 진부분집합이라고 한다.
정의:
집합 A가 집합 B의 부분집합이고 (A ⊆ B), A ≠ B일 때, A는 B의 진부분집합이라고 한다.
표기:
진부분집합 관계는 보통 A ⊂ B 또는 A ⊊ B로 표기한다. 이는 "A는 B의 진부분집합이다"라고 읽는다.
예시:
- 집합 B = {1, 2, 3}이 있다고 가정하자.
- B의 부분집합은 다음과 같다: {}, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}
- 이 중에서 B 자신인 {1, 2, 3}을 제외한 나머지 부분집합들, 즉 {}, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}이 B의 진부분집합이 된다.
특징:
- 공집합({})은 모든 집합의 진부분집합이다 (단, 공집합 자체는 진부분집합을 가지지 않는다).
- 집합 A가 유한집합이고, 그 원소의 개수가 n개라면, A의 진부분집합의 개수는 2n - 1개이다. (A의 부분집합의 총 개수는 2n개이고, 여기서 A 자신을 제외하므로 1을 뺀다.)
- 진부분집합의 개념은 집합 간의 포함 관계를 더욱 명확하게 정의하고, 다양한 집합 연산 및 정리를 이해하는 데 중요한 역할을 한다.