외적

외적 (cross product)은 3차원 유클리드 공간에서 정의되는 두 벡터의 곱셈 연산의 일종입니다. 두 벡터 a와 b의 외적은 또 다른 벡터 a × b를 생성하며, 이 벡터는 원래 두 벡터 a와 b 모두에 수직입니다. 외적의 크기는 두 벡터가 이루는 평행사변형의 넓이와 같습니다.

정의

두 벡터 a = (a₁, a₂, a₃)와 b = (b₁, b₂, b₃)의 외적 a × b는 다음과 같이 정의됩니다.

a × b = (a₂b₃ - a₃b₂, a₃b₁ - a₁b₃, a₁b₂ - a₂b₁)

이는 행렬식을 이용하여 다음과 같이 표현할 수도 있습니다.

a × b = det | i j k | | a₁ a₂ a₃ | | b₁ b₂ b₃ |

여기서 i, j, k는 각각 x, y, z축 방향의 단위 벡터입니다.

성질

외적은 다음과 같은 성질을 가집니다.

• 반교환성 (Anticommutativity): a × b = - (b × a)
• 분배 법칙 (Distributive Law): a × (b + c) = a × b + a × c
• 스칼라 곱 (Scalar Multiplication): (ka) × b = a × (kb) = k(a × b) (k는 스칼라)
• 자기 자신과의 외적: a × a = 0 (영벡터)
• 크기: |a × b| = |a||b|sinθ (θ는 a와 b 사이의 각도)

기하학적 의미

외적의 방향은 오른손 법칙에 따라 결정됩니다. 오른손의 검지, 중지를 각각 벡터 a와 b의 방향으로 향하게 했을 때, 엄지손가락이 가리키는 방향이 a × b의 방향이 됩니다. 외적의 크기는 두 벡터 a와 b가 이루는 평행사변형의 넓이와 같습니다. 따라서 두 벡터가 평행하거나 같은 방향을 가리키는 경우, 외적의 크기는 0이 됩니다.

활용

외적은 물리학, 공학, 컴퓨터 그래픽스 등 다양한 분야에서 활용됩니다.

• 토크 계산: 물리학에서 토크는 힘과 거리의 외적으로 계산됩니다.
• 면적 계산: 3차원 공간에서 삼각형의 면적은 두 변 벡터의 외적의 크기의 절반으로 계산됩니다.
• 법선 벡터 계산: 평면에 수직인 법선 벡터는 평면 위에 있는 두 벡터의 외적으로 계산됩니다.
• 좌표계 변환: 3차원 공간에서 좌표계를 변환할 때 외적을 사용하여 새로운 좌표축을 정의할 수 있습니다.