극대

극대 (極大, maximum)는 수학, 물리학, 경제학 등 다양한 분야에서 어떤 함수나 양의 값이 특정 지점이나 조건에서 주변 값들보다 크거나 같을 때를 나타내는 용어이다. 즉, 그 지점 근처에서는 가장 큰 값을 갖는 상태를 의미한다.

수학에서의 극대

수학에서 극대는 함수의 국소적인 최댓값을 의미한다. 미분 가능한 함수 (f(x))에서 (x = a)일 때, (f'(a) = 0)이고 (x = a)의 충분히 작은 окрестности ( окрестности)에서 (f(a) \ge f(x))가 성립하면 (f(a))는 극댓값을 갖는다고 한다. 극댓값은 전 구간에서 가장 큰 값인 최댓값과는 구별된다. 하나의 함수는 여러 개의 극댓값을 가질 수 있으며, 극댓값이 최댓값보다 작을 수도 있다. 극댓값을 구하는 방법으로는 미분법을 이용하여 도함수가 0이 되는 지점을 찾고, 이계도함수를 통해 오목성을 판별하는 방법 등이 있다.

물리학에서의 극대

물리학에서 극대는 에너지, 포텐셜 등 물리량의 국소적인 최댓값을 나타낼 때 사용된다. 예를 들어, 포텐셜 에너지 곡선에서 극댓값은 불안정한 평형 상태를 의미한다. 이는 작은 변화에도 시스템이 그 상태에서 벗어나 더 낮은 에너지 상태로 이동하려는 경향을 보이기 때문이다.

경제학에서의 극대

경제학에서 극대는 이윤, 효용 등 경제 주체의 목표 함수의 국소적인 최댓값을 나타낼 때 사용된다. 예를 들어, 기업의 이윤 극대화 문제는 이윤 함수를 극대화하는 생산량이나 가격을 찾는 문제이며, 소비자의 효용 극대화 문제는 예산 제약 하에서 효용 함수를 극대화하는 소비량을 찾는 문제이다.

주의 사항

극댓값은 국소적인 최댓값이므로, 전 구간에서 가장 큰 값인 최댓값과는 다르다는 점을 유의해야 한다. 또한, 함수의 형태에 따라 극댓값이 존재하지 않을 수도 있으며, 여러 개의 극댓값이 존재할 수도 있다.