공리

공리란, 증명 없이 참으로 받아들이는 명제를 의미한다. 수학, 논리학, 그리고 형식 체계에서 기본적인 전제로 사용되며, 더 이상 증명을 요구하지 않는 자명한 진리 또는 기본 원칙으로 간주된다. 공리들은 해당 체계 내의 다른 정리들을 증명하는 출발점으로 기능한다. 즉, 공리로부터 연역적인 추론을 통해 정리들이 도출된다. 공리계(axiom system)는 서로 모순되지 않고, 체계 내의 모든 정리들을 증명하는 데 충분한 공리들의 집합을 말한다.

공리의 선택은 임의적이지 않으며, 해당 체계가 설명하고자 하는 대상과 일치해야 하고, 내부적으로 모순이 없어야 한다는 제약 조건을 만족해야 한다. 다른 공리계를 통해 동일한 체계를 기술할 수도 있지만, 선택된 공리들은 체계의 성격을 결정하는 중요한 요소이다. 유클리드 기하학의 경우, 유클리드 공리들이 그러한 역할을 한다.

공리의 개념은 수학적 체계의 기초를 세우는 데 필수적이며, 수학적 진리의 체계적인 전개를 가능하게 한다. 하지만 모든 공리가 자명한 것은 아니며, 때로는 논쟁의 여지가 있거나, 철학적인 논의를 필요로 할 수도 있다. 예를 들어, 선택 공리는 수학자들 사이에서 오랜 논쟁의 대상이었다.

관련 용어: 정리, 공리계, 증명, 연역, 귀납, 형식 체계, 수학 기초론