코시 부등식

코시-슈바르츠 부등식은 다양한 수학 분야에서 널리 사용되는 부등식으로, 주로 벡터 공간, 함수 공간, 확률론 등에서 활용됩니다. 여러 형태로 표현될 수 있지만, 가장 일반적인 형태는 다음과 같습니다.

벡터 공간에서의 코시-슈바르츠 부등식:

실수 또는 복소수 벡터 공간 V에서, 두 벡터 u와 v에 대해 다음이 성립합니다.

|⟨u, v⟩|² ≤ ⟨u, u⟩ ⟨v, v⟩

여기서 ⟨u, v⟩는 u와 v의 내적을 나타냅니다. 특히, V가 실수 벡터 공간이고, 표준적인 내적을 사용하는 경우, 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

(u₁v₁ + u₂v₂ + ... + uₙvₙ)² ≤ (u₁² + u₂² + ... + uₙ²) (v₁² + v₂² + ... + vₙ²)

이는 두 벡터의 성분들의 곱의 합의 제곱이, 각 벡터의 성분 제곱의 합의 곱보다 작거나 같다는 의미입니다.

함수 공간에서의 코시-슈바르츠 부등식:

함수 공간 L²(X, μ)에서, 두 함수 f와 g에 대해 다음이 성립합니다.

|∫f(x)g(x) dμ(x)|² ≤ ∫|f(x)|² dμ(x) ∫|g(x)|² dμ(x)

여기서 ∫는 적분을 나타내고, μ는 측도입니다.

응용:

코시-슈바르츠 부등식은 삼각 부등식, 횔더 부등식 등 다른 중요한 부등식을 증명하는 데 사용될 뿐만 아니라, 다양한 수학적 문제 해결에 활용됩니다. 특히, 최댓값/최솟값 문제, 수열의 극한 문제, 확률론에서의 분산 분석 등에서 유용하게 사용됩니다.

역사:

이 부등식은 오귀스탱 루이 코시(Augustin-Louis Cauchy)와 헤르만 아만두스 슈바르츠(Hermann Amandus Schwarz)에 의해 독립적으로 발견되었으며, 코시가 특수한 경우를 먼저 증명했고, 슈바르츠가 일반적인 형태로 확장했습니다.