다항식

다항식 (多項式, polynomial)은 수학에서, 상수, 변수, 그리고 이들의 곱으로 이루어진 항들의 합으로 표현되는 식을 말한다. 각 항은 계수와 변수의 거듭제곱의 곱으로 구성되며, 변수의 지수는 0 또는 양의 정수여야 한다. 다항식은 대수학의 기본적인 구성 요소 중 하나이며, 방정식, 함수, 그래프 등 다양한 수학적 개념과 밀접하게 관련되어 있다.

정의

다항식은 다음과 같은 일반적인 형태로 표현될 수 있다.

• aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x¹ + a₀

여기서:

• x는 변수를 나타낸다.
• a₀, a₁, ..., aₙ은 계수를 나타내며, 상수이다.
• n은 음이 아닌 정수이며, 다항식의 차수를 나타낸다. aₙ ≠ 0 일 때, n은 다항식의 최고차항의 지수가 된다.

용어

• 항 (term): 다항식을 구성하는 각각의 요소 (예: aₙxⁿ).
• 계수 (coefficient): 각 항에서 변수를 제외한 상수 부분 (예: aₙ).
• 차수 (degree): 다항식에서 가장 큰 변수의 지수.
• 상수항 (constant term): 변수를 포함하지 않는 항 (예: a₀).
• 단항식 (monomial): 항이 하나로 이루어진 다항식 (예: 5x², 3).
• 이항식 (binomial): 항이 두 개로 이루어진 다항식 (예: x + 1, 2x - 3).
• 삼항식 (trinomial): 항이 세 개로 이루어진 다항식 (예: x² + 2x + 1).

다항식의 연산

다항식은 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈과 같은 연산을 수행할 수 있다.

• 덧셈과 뺄셈: 동류항끼리 계수를 더하거나 뺀다.
• 곱셈: 분배 법칙을 사용하여 각 항을 곱한다.
• 나눗셈: 다항식 나눗셈 알고리즘을 사용하거나, 인수분해를 통해 간략화할 수 있다.

다항식의 종류

• 일변수 다항식: 하나의 변수만을 포함하는 다항식 (예: x² + 3x - 2).
• 다변수 다항식: 둘 이상의 변수를 포함하는 다항식 (예: x² + y² + xy).

다항식의 활용

다항식은 수학, 과학, 공학 등 다양한 분야에서 널리 사용된다. 예를 들어, 함수의 근을 구하거나, 곡선을 근사하거나, 물리적인 현상을 모델링하는 데 사용될 수 있다. 또한, 암호학, 컴퓨터 그래픽스 등 현대 기술의 핵심적인 부분에서도 다항식이 활용된다.