리 초대수 표현

리 초대수 표현은 리 초대수(Lie superalgebra)의 대수적 구조를 보존하는 선형 사상이다. 구체적으로, 리 초대수 (\mathfrak{g})의 표현은 벡터 공간 (V)와 리 초대수에서 (V)의 선형 변환으로의 선형 사상 (\rho : \mathfrak{g} \to \mathfrak{gl}(V))으로 구성되며, 다음 조건을 만족한다.

• (\rho([x, y]) = \rho(x)\rho(y) - (-1)^{\deg(x)\deg(y)}\rho(y)\rho(x))

여기서 ([x, y])는 리 괄호(Lie bracket)를 나타내며, (\deg(x))는 (x)의 동차 성분의 차수(degree)를 나타낸다. 리 초대수는 짝수 부분과 홀수 부분으로 나뉘어지며, 동차 성분은 이 짝수/홀수 부분을 나타낸다. (\mathfrak{gl}(V))는 (V)의 선형 변환들의 일반 선형 리 초대수를 나타낸다.

리 초대수 표현은 리 대수 표현의 일반화된 개념이며, 물리학, 특히 초대칭 이론에서 중요한 역할을 한다. 리 초대수 표현을 연구함으로써 리 초대수의 구조와 성질을 이해하고, 이를 바탕으로 다양한 물리적 현상을 설명할 수 있다. 표현론은 리 초대수를 연구하는 데 핵심적인 도구이며, 다양한 표현의 분류와 성질 분석은 중요한 연구 주제이다.

리 초대수 표현의 예시로는 딸림 표현(adjoint representation)이 있으며, 이는 리 초대수 자체가 벡터 공간으로 사용되고, 리 괄호를 통해 표현이 정의된다. 또한, 자명한 표현(trivial representation)은 모든 리 초대수 원소를 0으로 보내는 표현이다.