형식적 멱급수
형식적 멱급수(formal power series)는 수열의 정보를 담고 있는 형식적인 표현으로, 수렴성에 관계없이 대수적인 조작에 초점을 맞춘 멱급수이다. 보통 어떤 가환환 R에 계수를 갖는 변수 X에 대한 형식적 멱급수는 다음과 같은 형태로 표현된다.
$$\sum_{n=0}^{\infty} a_n X^n = a_0 + a_1 X + a_2 X^2 + a_3 X^3 + \cdots$$
여기서 *an*은 R의 원소이고, X는 부정원(indeterminant)이다. 중요한 점은 위 급수가 특정 값에서 수렴하는지 여부는 고려하지 않는다는 것이다. 즉, X에 특정 값을 대입하여 얻는 값은 생각하지 않는다.
연산
형식적 멱급수끼리는 다음과 같은 방법으로 덧셈과 곱셈을 정의할 수 있다.
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덧셈: 두 형식적 멱급수 ∑ anXn 과 ∑ bnXn 의 합은 다음과 같이 정의된다.
$$\sum_{n=0}^{\infty} a_n X^n + \sum_{n=0}^{\infty} b_n X^n = \sum_{n=0}^{\infty} (a_n + b_n) X^n$$
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곱셈 (코시 곱): 두 형식적 멱급수 ∑ anXn 과 ∑ bnXn 의 곱은 다음과 같이 정의된다.
$$\left(\sum_{n=0}^{\infty} a_n X^n\right) \left(\sum_{n=0}^{\infty} b_n X^n\right) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n X^n$$
여기서 cn 은 다음과 같다.
$$c_n = \sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k}$$
이러한 연산들을 통해 형식적 멱급수들의 집합은 환을 이루게 되며, 특히 가환환 R이 체일 경우 형식적 멱급수들의 환은 정역이 된다.
응용
형식적 멱급수는 조합론, 대수학, 해석학 등 다양한 분야에서 유용하게 사용된다. 특히 점화식의 해를 구하거나, 생성 함수를 통해 수열의 성질을 연구하는 데 효과적이다. 예를 들어, 피보나치 수열의 생성 함수는 다음과 같은 형식적 멱급수로 표현될 수 있다.
$$F(X) = \sum_{n=0}^{\infty} F_n X^n = \frac{X}{1 - X - X^2}$$
이러한 표현을 통해 피보나치 수열의 일반항을 유도하거나, 다양한 항등식을 증명할 수 있다.