플뢰어 호몰로지

플뢰어 호몰로지(Floer homology)는 무한 차원 다양체 위에서 정의되는 모스 이론(Morse theory)을 일반화한 개념으로, 미분기하학과 심플렉틱 기하학, 위상수학 분야에서 중요한 도구로 사용됩니다. 특히, 심플렉틱 다양체의 라그랑지안 부분다양체들의 교차 이론, 해밀토니안 역학계의 주기 궤도 연구, 3차원 다양체의 위상 불변량 연구 등에 응용됩니다.

플뢰어 호몰로지는 일반적으로 다음과 같은 단계를 거쳐 정의됩니다.

1. 경로 공간(Path space) 정의: 주어진 문제에 따라 적절한 경로 공간을 정의합니다. 예를 들어, 라그랑지안 교차 이론에서는 두 라그랑지안 부분다양체 사이를 잇는 경로 공간을 사용합니다.

2. 액션 함수(Action functional) 정의: 경로 공간 위에 작용하는 액션 함수를 정의합니다. 이 함수는 모스 함수와 유사한 역할을 하며, 임계점(critical point)은 해밀토니안 역학계의 주기 궤도나 라그랑지안 부분다양체의 교점 등에 해당합니다.

3. 플뢰어 연쇄 복합체(Floer chain complex) 정의: 액션 함수의 임계점을 생성원으로 하는 자유 아벨 군(free abelian group)을 정의합니다. 이 군은 플뢰어 연쇄 복합체의 기초를 이룹니다.

4. 경계 연산자(Boundary operator) 정의: 플뢰어 연쇄 복합체 위에 경계 연산자를 정의합니다. 이 연산자는 액션 함수의 gradient flow를 따라 임계점 사이를 연결하는 궤적(trajectory)의 개수를 이용하여 정의됩니다.

5. 호몰로지 계산: 경계 연산자의 제곱이 0이 됨을 보이고, 이를 이용하여 플뢰어 호몰로지를 계산합니다. 계산된 호몰로지는 원래 문제의 위상적 불변량을 나타냅니다.

플뢰어 호몰로지는 다양한 형태로 존재하며, 심플렉틱 플뢰어 호몰로지, 라그랑지안 플뢰어 호몰로지, 헤가드 플뢰어 호몰로지 등이 대표적입니다. 각 플뢰어 호몰로지는 특정한 기하학적, 위상수학적 문제에 적용되어 중요한 결과를 얻는 데 기여하고 있습니다.