프레드홀름 작용소
함수 해석학에서, 프레드홀름 작용소는 두 바나흐 공간 사이의 유계 선형 작용소로, 핵(kernel)과 여핵(cokernel)의 차원이 유한한 성질을 갖는다. 스웨덴 수학자 이바르 프레드홀름(Ivar Fredholm)의 이름을 따서 명명되었다. 이 작용소는 미분 및 적분 방정식 이론과 위상수학 및 기하학의 지표 정리 등에서 중요한 역할을 한다.
정의
두 바나흐 공간 $X$와 $Y$ 사이의 유계 선형 작용소 $T: X \to Y$가 프레드홀름 작용소라 함은 다음 두 조건을 만족하는 것을 말한다.
- $T$의 핵(null space), $\ker(T) = {x \in X \mid T(x) = 0}$의 차원이 유한하다. ($\dim(\ker(T)) < \infty$)
- $T$의 상(range), $\operatorname{Im}(T) = {T(x) \mid x \in X}$가 $Y$의 닫힌 부분 공간이며, $T$의 여핵(cokernel), $Y / \operatorname{Im}(T)$의 차원이 유한하다. ($\dim(Y / \operatorname{Im}(T)) < \infty$)
바나흐 공간 $X, Y$ 사이의 유계 선형 작용소 $T$에 대해, $\dim(\ker(T)) < \infty$ 이고 $\dim(Y / \operatorname{Im}(T)) < \infty$ 이면 자동으로 $\operatorname{Im}(T)$는 닫혀 있으므로, 실제로는 유한 차원 핵과 유한 차원 여핵 조건만으로 프레드홀름 작용소를 정의하기도 한다.
지표
프레드홀름 작용소 $T$의 지표(index)는 핵의 차원과 여핵의 차원의 차이로 정의된다.
$\operatorname{index}(T) = \dim(\ker(T)) - \dim(Y / \operatorname{Im}(T))$
지표는 항상 정수 값을 가진다.
성질
- 콤팩트 작용소와의 관계: 유계 선형 작용소 $T$가 프레드홀름 작용소일 필요충분조건은 $T$가 '콤팩트 작용소 모듈로 가역적'인 것이다. 즉, 어떤 유계 선형 작용소 $S$가 존재하여 $ST - I_X$와 $TS - I_Y$가 모두 콤팩트 작용소가 되는 것이다. (여기서 $I_X, I_Y$는 항등 작용소이다.)
- 지표의 안정성: 프레드홀름 작용소에 콤팩트 작용소를 더해도 프레드홀름 작용소가 되며, 이때 지표는 변하지 않는다. (콤팩트 섭동에 대한 지표의 안정성)
- 합성: 두 프레드홀름 작용소의 합성은 다시 프레드홀름 작용소이며, 합성 작용소의 지표는 각 작용소의 지표의 합과 같다: $\operatorname{index}(ST) = \operatorname{index}(S) + \operatorname{index}(T)$.
- 프레드홀름 작용소들의 집합은 유계 선형 작용소 공간 내에서 열린 집합을 이룬다.
- 지표 함수는 프레드홀름 작용소 공간 상에서 연속 함수이다.
응용
- 유한 차원 벡터 공간 사이의 모든 선형 작용소는 핵과 여핵이 유한 차원이므로 프레드홀름 작용소이다.
- 바나흐 공간에서 자기 자신으로 가는 가역 유계 선형 작용소는 핵과 여핵이 모두 ${0}$으로 0차원이므로 지표가 0인 프레드홀름 작용소이다.
- 프레드홀름 적분 방정식의 연구에서 프레드홀름 작용소의 개념이 핵심적으로 사용된다.
- 타원형 미분 작용소와 같은 미분 작용소의 이론에서 중요한 역할을 하며, 경계값 문제의 가해성을 분석하는 데 사용된다.
- 위상수학과 기하학의 아티야-싱어 지표 정리(Atiyah-Singer Index Theorem)는 특정 기하학적 대상(다양체) 위의 타원형 미분 작용소의 해석적 지표(프레드홀름 지표)가 위상수학적 지표와 같음을 보이는 정리이며, 이는 프레드홀름 작용소 이론의 중요한 응용 사례이다.
관련 개념
- 콤팩트 작용소
- 본질적 스펙트럼 (Essential spectrum)
- 지표 이론 (Index theory)
- K-이론 (K-theory)