체르멜로 정리

체르멜로 정리 (Zermelo's theorem)는 선택 공리를 가정할 때, 모든 집합은 정렬 가능하다는 정리이다. 즉, 임의의 집합에 대해, 그 집합의 모든 원소 쌍에 대해 순서를 부여하여, 임의의 공집합이 아닌 부분집합이 항상 최소 원소를 가지도록 할 수 있다는 것이다. 이 정리는 1904년 에른스트 체르멜로가 발표했으며, 선택 공리와 동치이다.

정렬 가능하다는 것은 집합의 원소들을 '작다', '같다', '크다'의 관계를 통해 명확하게 순서를 매길 수 있다는 의미이다. 예를 들어, 자연수 집합은 일반적인 크기 비교를 통해 정렬 가능하지만, 실수의 집합은 자명하게 정렬 가능한 것은 아니다. 체르멜로 정리는 선택 공리를 사용하여 실수의 집합을 포함한 모든 집합이 원리적으로 정렬 가능하다는 것을 보여준다.

체르멜로 정리는 집합론의 기초적인 정리 중 하나이며, 수학의 여러 분야에서 중요한 역할을 한다. 특히, 초한 귀납법이나 하우스도르프 극대 원리와 같은 증명 기법을 사용하는 데 필수적이다. 선택 공리와 마찬가지로, 체르멜로 정리는 직관적으로 받아들이기 어려울 수 있지만, 현대 수학의 중요한 도구로 널리 사용되고 있다.