다르부 공식

다르부 공식 (Darboux formula)은 미분기하학에서 곡선의 프레네-세레 틀(Frenet-Serret frame)을 이용하여 곡선의 한 점에서 법선 벡터와 종법선 벡터 방향으로의 미소 변위를 계산하는 공식이다. 이는 곡선 근방의 기하학적 성질을 분석하고, 곡률과 꼬임률의 변화를 연구하는 데 중요한 역할을 한다.

구체적으로, 3차원 공간에 매개변수화된 곡선 r(s)가 주어졌을 때, s는 호 길이 매개변수를 나타낸다. 프레네-세레 틀은 접선 벡터 T, 법선 벡터 N, 종법선 벡터 B로 구성되며, 이들은 서로 직교하고 단위 크기를 갖는다. 다르부 공식은 다음과 같이 표현된다.

dT/ds = κN dN/ds = -κT + τB dB/ds = -τN

여기서 κ는 곡률을, τ는 꼬임률을 나타낸다. 이 공식은 각 벡터의 미소 변화량이 다른 벡터들의 선형 결합으로 표현됨을 보여준다. 곡률은 곡선이 얼마나 휘어져 있는지를 나타내고, 꼬임률은 곡선이 얼마나 평면에서 벗어나는지를 나타낸다.

다르부 공식은 곡선의 국소적인 기하학적 성질을 이해하는 데 필수적인 도구이며, 곡면론, 역학, 공학 등 다양한 분야에서 응용된다.