정의
위상공간 $X$가 $n$-연결(n‑connected)하다는 것은, 기초 호모토피 군 $\pi_k(X)$가 모든 차수 $k\le n$에 대해 자명(즉, 하나의 원소만을 갖는 군)임을 의미한다. 여기서 $\pi_0(X)$는 연결성(connectedness) 자체를, $\pi_1(X)$는 기본군(fundamental group), $\pi_k(X)$ ($k\ge2$)는 고차 호모토피 군을 나타낸다.
- $n\ge0$인 경우, $X$가 $n$-연결이면 자동으로 $(n-1)$-연결이다.
- $n=-1$인 경우는 빈 집합을 제외하고는 모든 위상공간이 $-1$-연결이라고 정의한다(관례적인 확장).
관련 개념
- $0$-연결: 공간이 경로연결(path‑connected)임을 의미한다.
- $1$-연결: 공간이 경로연결이며 기본군이 자명함을 의미한다(즉, 단순연결(simple‑connected)이다).
- $n$-연결: $n$차까지의 모든 호모토피 군이 자명하므로, 차수가 $n$보다 작은 “구멍”이 없다는 의미로 해석된다.
예시
| 공간 | 차원 | $n$-연결성 |
|---|---|---|
| $\mathbb{R}^m$ (유클리드 공간) | $m$ | 모든 $n < m$에 대해 $n$-연결 |
| $S^m$ (단위 구면) | $m$ | $(m-1)$-연결 (예: $S^2$는 1‑연결) |
| 디스크 $D^m$ | $m$ | $(m-1)$-연결 |
| 토러스 $T^2$ | 2 | $0$-연결 (경로연결)하지만 1‑연결이 아님(기본군 $\mathbb{Z}^2$이 비자명) |
| 실 프로젝트 평면 $\mathbb{RP}^2$ | 2 | $0$-연결, 1‑연결이 아님(기본군 $\mathbb{Z}_2$) |
성질 및 활용
- 호몰로지와의 관계: $X$가 $n$-연결이면, $k\le n$인 경우 호몰로지 군 $H_k(X)$도 자명한다(특히, Hurewicz 정리).
- 세준 연속성: $X$와 $Y$가 모두 $n$-연결이면, 두 공간 사이의 연속사상은 $\pi_k$에 대해 동일한 작용을 한다(특히, $k\le n$).
- 동형 사상: 두 $(n+1)$-차원 셀 복합(complex) 사이의 $(n-1)$-연결 사상은 동형 사상이 된다(Whitehead 정리).
- 동형론: $n$-연결성을 이용해 고차 차원 매니폴드의 분류와 검증에 활용된다(예: 고차원 구면의 특이점 이론).
어원
‘$n$-연결’이라는 용어는 영어 “$n$-connected”를 한글식으로 옮긴 것으로, ‘$n$’은 차수(차원)를 나타내는 정수이고, ‘연결’은 위상학에서 “connected”에 해당한다. 따라서 ‘$n$-연결 공간’은 “$n$ 차수까지 연결(구멍이 없음)한 공간”이라는 의미를 가진다.
참고 문헌
- A. Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002.
- J. P. May, A Concise Course in Algebraic Topology, University of Chicago Press, 1999.
- J. R. Munkres, Topology, 2nd ed., Prentice Hall, 2000.
요약
$n$-연결 공간은 위상공간이 차수 $n$ 이하의 모든 호모토피 군이 자명한 경우를 의미한다. 이는 공간이 어떤 차원까지 “구멍이 없음”을 나타내는 중요한 대수위상학적 특성으로, 다양한 이론(호몰로지, 호모토피, 매니폴드 분류 등)에서 핵심적인 역할을 한다.
