WKB 근사(WKB近似, 영어: WKB approximation)는 양자역학에서 슈뢰딩거 방정식을 풀 때 사용하는 근사법으로, 순수하게 양자역학적인 효과가 작아 파동 함수의 진폭 또는 위상이 거의 일정하다는 가정 아래 해를 구하는 방법이다. WKB는 이 방법을 독립적으로 개발한 세 물리학자 벤첼(Gregor Wentzel), 크라머르스(Hendrik Anthony Kramers), 브릴루앵(Léon Brillouin)의 이름 앞글자를 딴 것이다. 제프리스(Harold Jeffreys)가 1923년에 먼저 일반적인 2차 미분 방정식에 대한 근사법으로 도입하였기에 JWKB 근사라고 부르기도 한다.
수학적 개요
WKB 근사는 파동 함수 Ψ(x)를 로그의 실수부와 허수부의 도함수로 분해하여 표현한 뒤, 이를 디랙 상수 ℏ에 대한 테일러 급수로 전개하는 반고전 근사(semiclassical approximation)를 취한다. ℏ의 0차항부터 차례로 풀어나가면서 근사해를 얻는다.
- 고전적 영역(E > V(x)): 파동 함수는 진폭이 느리게 변하고 위상이 빠르게 변하는 사인파 형태로 근사된다.
- 터널 효과 영역(E < V(x)): 파동 함수는 지수 함수적으로 감소 또는 증가하는 형태로 근사된다.
- 연결 공식(connection formula): E ≈ V(x)가 되는 회귀점(turning point) 근처에서는 위 두 해가 발산하므로, 에어리 함수(Airy function)를 이용하여 두 영역의 해를 연속적이고 매끄럽게 연결한다.
응용
WKB 근사는 다음과 같은 물리적 현상의 분석에 활용된다:
- 알파 붕괴(alpha decay)의 반감기 계산 (가모프 이론, Gamow theory)
- 주사터널링현미경(STM)의 냉음극 방출(cold emission)
- 퍼텐셜 장벽을 통한 터널링 확률 계산
- 양자역학적 bound state의 에너지 준위 근사
역사
- 1923년: 해럴드 제프리스가 2차 선형 미분 방정식의 근사해법으로 최초 도입.
- 1926년: 벤첼, 크라머르스, 브릴루앵이 각각 독자적으로 슈뢰딩거 방정식에 적용하는 근사법을 발표. 당시에는 서로의 연구를 알지 못했으나 이후 네 방법이 본질적으로 동일함이 확인되었다.
같이 보기: 반고전론(semiclassical approximation), 해밀턴-야코비 방정식, 터널 효과, 에어리 함수, 가모프 이론.
