Parallel Lines(평행선)는 기하학에서 두 직선이 동일한 평면 위에 존재하면서 어느 점에서도 서로 교차하지 않는 관계를 의미한다. 이 개념은 유클리드 기하학의 핵심적인 개념 중 하나로, 기원전 3세기경 유클리드의 저서 『기하원론』(Elements)에서 체계적으로 정립되었다.
정의
유클리드 기하학에서 두 직선이 평행하다는 것은 다음 두 조건을 동시에 만족하는 경우를 말한다: (1) 두 직선은 동일한 평면 위에 존재한다. (2) 두 직선은 무한히 연장하더라도 영원히 만나지 않는다. 이는 유클리드 원론 제1권의 정의 23에 해당한다.
평행선 공준
평행선 개념의 이론적 기초는 유클리드의 제5공준(평행선 공준, parallel postulate)이다. 이 공준은 "한 직선 바깥의 한 점을 지나면서 그 직선과 교차하지 않는 직선은 오직 하나뿐이다"라는 형태로 표현된다. 이 공준은 나머지 네 개의 공준에 비해 자명하지 않다는 비판을 받아 왔으며, 수많은 수학자들이 이를 증명하고자 시도했으나 모두 실패했다. 19세기에 이르러 로바쳅스키, 보야이, 가우스 등이 제5공준을 대체한 비유클리드 기하학을 창시하면서, 평행선 개념은 기하학의 유형에 따라 다르게 정의될 수 있음이 밝혀졌다.
기호
평행을 나타내는 기호는 '∥'(U+2225)이다. 예를 들어 "AB ∥ CD"는 직선 AB와 직선 CD가 평행함을 의미한다. 평행하지 않음을 나타내는 기호는 '∦'(U+2226)이다. 이 기호는 17세기 수학자 윌리엄 오트레드(William Oughtred)의 유고집(1677)에서 처음 사용된 것으로 알려져 있다.
대수적 조건
2차원 직교좌표계에서 두 직선의 방정식이 각각 y = m₁x + b₁, y = m₂x + b₂로 주어질 때, 두 직선이 평행하기 위한 필요충분조건은 기울기가 같은 것(m₁ = m₂)이다. 단, y절편(b₁, b₂)은 달라야 한다(같으면 동일한 직선). 수직선의 경우 기울기가 정의되지 않지만, 모든 수직선은 서로 평행하다.
성질
유클리드 기하학에서 평행 관계는 다음과 같은 성질을 갖는다.
- 대칭성: 한 직선이 다른 직선과 평행하면, 그 역도 성립한다.
- 추이성: 직선 l이 m과 평행하고 m이 n과 평행하면, l은 n과 평행하다.
- 반사성: 일반적인 유클리드 기하학에서 직선은 자기 자신과 평행하다고 간주되지 않으나, 아핀 기하학(affine geometry)에서는 자기 자신과의 평행성을 인정하여 동치관계로 정의하기도 한다.
두 평행선 사이의 거리
유클리드 평면에서 두 평행선은 모든 점에서 동일한 거리를 유지한다(등거리, equidistant). 두 직선이 y = mx + b₁, y = mx + b₂로 주어질 때, 두 직선 사이의 거리는 다음 공식으로 계산된다: d = |b₂ - b₁| / √(m² + 1).
비유클리드 기하학에서의 평행선
비유클리드 기하학에서는 평행선의 개념이 달라진다.
- 쌍곡기하학(hyperbolic geometry): 한 직선과 그 위에 있지 않은 한 점을 지나면서 해당 직선과 만나지 않는 직선이 무수히 많이 존재할 수 있다.
- 타원기하학(elliptic geometry): 모든 직선(대원)이 서로 교차하므로 평행선이 존재하지 않는다.
응용
평행선 개념은 건축, 기계 설계, 도시 계획 등 공학 분야에서 구조의 안정성과 대칭성을 확보하는 기준으로 활용된다. 물리학에서는 전기장선, 자기장선의 방향성 표현에 사용되며, 컴퓨터 그래픽스와 CAD 시스템에서 평행 이동 변환 및 원근 투시의 기초가 된다. 초등 및 중등 교육과정에서 기하학의 기초 개념으로 가르쳐진다.
