KR이론(KR理論, 영어: KR-theory)은 수학, 특히 대수적 위상수학 분야에서 다루어지는 위상 K이론의 일종이다. 이 이론은 대합(involution)을 갖춘 위상 공간 위에서 정의되는 안정 벡터 다발을 분류하는 역할을 한다.
정의
대합 공간은 콤팩트 하우스도르프 공간 X와 그 위의 연속 자기함수 τ:X→X가 τ∘τ = id_X를 만족하는 구조로 주어진다. 이러한 대합 공간 위에 정의되는 대합 벡터 다발(Real vector bundle)은 복소수 벡터 다발 π:E→X와 E 위의 연속 대합 τ_E:E→E로 구성되며, τ_E는 각 올(fiber)에서 복소수 벡터 공간의 반선형 변환으로 작용한다.
대합 공간 위의 대합 벡터 다발들의 직합을 취하면 동형류들이 가환 모노이드를 이루며, 이 모노이드에 그로텐디크 구성을 적용하여 얻어지는 군이 해당 대합 공간의 KR군이다.
다른 K이론과의 관계
KR이론은 기존의 위상 K이론들의 일반화된 형태로 이해할 수 있다.
- 콤팩트 하우스도르프 공간 X에 항등 함수를 대합으로 부여하면, X의 KR군은 실수 벡터 다발을 다루는 KO군과 일치한다.
- X×{±1}에 좌표 반전(swap)을 대합으로 부여하면, 이 공간의 KR군은 복소수 벡터 다발을 다루는 KU군과 일치한다.
보트 주기성
KR이론 역시 보트 주기성(Bott periodicity)을 만족한다. 두 개의 등급을 갖는 KR군 KR^{m,n}은 m,n이 각각 1씩 증가해도 동형이며, m이 8 증가해도 동형이다. 즉, KR군은 (m-n) mod 8에만 의존하는 주기성을 가진다. 실수 및 복소수 K이론의 보트 주기성은 KR이론의 보트 주기성의 특수한 경우로 포함된다.
응용
끈 이론에서 오리엔티폴드(orientifold)가 주어진 시공간은 대합 공간을 이루며, 그 위의 D-막(D-brane)들은 KR군에 의하여 분류될 수 있는 것으로 알려져 있다.
역사
KR이론은 1966년 마이클 아티야(Michael Atiyah)가 도입하였다. 명칭 'KR'에서 'K'는 K이론을 뜻하며 이는 독일어 "Klasse"(클라세)의 첫 글자에서 유래하고, 'R'은 영어 "real"(리얼)의 첫 글자를 딴 것이다. 아티야가 이 이론을 도입한 직접적인 동기는 실수 타원 연산자에 대한 아티야-싱어 지표 정리(Atiyah-Singer index theorem)에의 응용이었다.
