Ext 함자는 호몰로지 이론·대수학에서 중요한 파생함자(derived functor) 중 하나로, 두 객체 사이의 확장(extension) 를 분류하고 그 구조를 파악하는 도구이다. 특히, 가군·환·모듈 이론에서 Hom 함자의 오른쪽 파생함자로 정의되며, 모듈 간의 비자명한 확장 클래스를 측정한다.
1. 정의
-
대수적 정의
$R$‑모듈 $A, B$에 대해, $\operatorname{Ext}^{n}{R}(A,B)$는 $\operatorname{Hom}{R}(A,-)$ 함자의 오른쪽 파생함자 $R^{n}\operatorname{Hom}{R}(A,-)$ 를 $B$에 적용한 결과이다.
$$ \operatorname{Ext}^{n}{R}(A,B)=R^{n}\operatorname{Hom}_{R}(A,B)\qquad (n\ge 0) $$ -
동형 사상
$\operatorname{Ext}^{0}{R}(A,B)$는 $\operatorname{Hom}{R}(A,B)$와 동일하다. -
확장 클래스와의 관계
$\operatorname{Ext}^{1}_{R}(A,B)$는 $R$‑모듈 $A$와 $B$ 사이의 동형 클래스가 서로 다른 짧은 정확한 열( short exact sequence ) $$ 0\to B \to E \to A \to 0 $$ 로부터 얻어지는 확장의 동형류와 일대일 대응한다.
2. 계산 방법
-
보통 해석법 (Projective Resolution)
$A$에 대한 프로젝트ive 해석 $$ \cdots \to P_{2}\xrightarrow{d_{2}} P_{1}\xrightarrow{d_{1}} P_{0}\to A\to 0 $$ 을 취하고, $\operatorname{Hom}_{R}(-,B)$ 를 적용한 복합체의 코호몰로지를 계산한다. -
인젝티브 해석법 (Injective Resolution)
$B$에 대한 인젝티브 해석 $$ 0\to B\to I^{0}\xrightarrow{d^{0}} I^{1}\xrightarrow{d^{1}} I^{2}\to\cdots $$ 에 $\operatorname{Hom}_{R}(A,-)$ 를 적용해도 같은 결과를 얻는다. -
스펙트럴 시퀀스와 장착(스플리팅) 이용
장착된(축소된) 복합체, 장착된 장축, 혹은 토르( Tor )와의 관계 $\operatorname{Ext}^{n}{R}(A,B)\cong \operatorname{Tor}^{R}{n}(A^{\vee},B)$ (특정 경우) 등을 활용한다.
3. 주요 성질
| 성질 | 내용 |
|---|---|
| 장축(長短) 정확성 | $\operatorname{Ext}^{n}{R}(-,B)$와 $\operatorname{Ext}^{n}{R}(A,-)$는 각각 두 번째 변수를 기준으로 좌측 장축 정확함을 가진다. |
| 바이듀얼리티 | 한정된 경우(예: 가군 $A$가 자유 가군) $\operatorname{Ext}^{1}{\mathbb{Z}}(A,B)$는 $\operatorname{Hom}{\mathbb{Z}}(A,\mathbb{Q}/\mathbb{Z})$와 동형이다. |
| 차원 이동 | $\operatorname{Ext}^{n}_{R}(A,B)=0$ for all $n> \operatorname{pd}(A)$ (프로젝트ive 차원) 혹은 $n> \operatorname{id}(B)$ (인젝티브 차원). |
| 유도된 장축 | 짧은 정확한 열 $0\to B'\to B\to B''\to0$에 대하여 장축 시퀀스가 존재한다. |
| 스펙트럴 시퀀스 | $\operatorname{Ext}$와 $\operatorname{Tor}$ 사이에 연결되는 장축 시퀀스가 존재한다(예: 유리화, 완전화 등). |
4. 예시
-
정수 가군
$$ \operatorname{Ext}^{1}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} $$ 이는 $\mathbb{Z}$‑모듈 $\mathbb{Z}$에 대한 $n$‑차원의 비자명 확장을 나타낸다. -
다항식 환
$R=k[x]$ (필드 $k$ 위 다항식 환)에서 $\operatorname{Ext}^{1}_{R}(k,R)=k$이며, 이는 $k$를 $R$‑모듈로 확장한 비자명한 열을 의미한다. -
시공간 위의 층
위상공간 $X$와 층 $\mathcal{F},\mathcal{G}$에 대해 $\operatorname{Ext}^{i}{\mathcal{O}{X}}(\mathcal{F},\mathcal{G})$는 층 코호몰로지와 동일시될 수 있다.
5. 응용 분야
- 가군 및 모듈 이론 : 비자명 확장의 존재/불가능성 판단, 구조 정리(예: 사다리식, 분해정리).
- 대수기하학 : 얇은 층(coherent sheaf) 사이의 확장 클래스를 통해 변형이론 및 매듭이론에 활용.
- 표현론 : 알제브라(예: 사슬대수) 모듈의 확장군을 통해 모듈 카테고리의 아벨화(ablation)와 사상 분류.
- 동형론 : 호몰로지와 코호몰로지 이론에서 장축 시퀀스와 함께 사용되어 장축 및 사상들의 정확성 검증에 핵심 역할.
6. 관련 개념
- Hom 함자 : $\operatorname{Hom}_{R}(-,-)$의 왼쪽 파생함자.
- Tor 함자 : $\operatorname{Tor}_{n}^{R}(-,-)$는 $\otimes$의 왼쪽 파생함자이며, $\operatorname{Ext}$와 쌍대관계에 있다.
- 프로젝트ive 해석 / 인젝티브 해석 : 파생함자를 정의하기 위한 표준적인 도구.
- 장축 시퀀스 : $\operatorname{Ext}$와 $\operatorname{Tor}$를 연결하는 장축 6항 시퀀스 등.
7. 참고문헌
- Weibel, Charles A. An Introduction to Homological Algebra, Cambridge University Press, 1994.
- MacLane, Saunders Homology, Springer‑Verlag, 1963.
- Rotman, Joseph J. An Introduction to Homological Algebra, 2nd ed., Springer, 2009.
- Hartshorne, Robin Algebraic Geometry, Springer, 1977 – 섹션 III.1 (Ext와 층 이론).
위 내용은 Ext 함자에 대한 기본적인 정의와 주요 성질, 계산법, 예시, 그리고 응용 분야를 포괄적으로 정리한 백과사전식 설명이다.