Ext 함자(Ext函子, 영어: Ext functor)는 호몰로지 대수학에서 아벨 범주의 두 대상 사이를 잇는 완전열들을 분류하는 함자이다. 사상군 함자(Hom 함자)의 유도 함자와 같으며, 호몰로지 대수학의 핵심 개념 중 하나로 Tor 함자와 함께 다루어진다.
정의
Ext 함자는 크게 세 가지 방식으로 정의될 수 있다.
첫째, 특정 완전열들의 동치류 집합으로 정의하는 방식이다. 이는 가장 구체적이지만 집합론적 문제가 발생할 수 있다는 한계가 있다. 이 정의는 요네다 노부오(Nobuo Yoneda)가 도입하였다.
둘째, 단사 대상을 충분히 가지는 범주 또는 사영 대상을 충분히 가지는 범주에서, 오른쪽 유도 함자 또는 왼쪽 유도 함자를 사용하여 정의하는 방식이다. 이 경우 집합론적 문제는 발생하지 않지만, 단사 대상이나 사영 대상이 부족한 아벨 범주에서는 사용할 수 없다.
셋째, 유도 범주(derived category)의 개념을 사용하면 Ext 함자를 매우 간단하게 정의할 수 있다.
대수학에서 가장 중요한 경우인 환 위의 가군 범주는 단사 대상과 사영 대상을 모두 충분히 가지므로, 유도 함자 정의를 사용할 수 있다.
0차 Ext
임의의 아벨 범주 \mathcal{A}에 대하여, 0차 Ext 함자는 사상군 함자와 같다.
Ext⁰(A, B) = hom(A, B)
1차 Ext
아벨 범주 \mathcal{A}의 대상 A, B에 대하여, A의 B에 대한 확대(extension)는 다음과 같은 짧은 완전열이다.
0 → B → X → A → 0
두 확대 사이에 가환 그림을 만드는 사상이 존재하면 두 확대가 서로 동치라고 하며, 확대의 동치류들은 베어 합(Baer sum)이라는 연산 아래 아벨 군을 이룬다. 1차 Ext 함자 Ext¹(A, B)는 A의 B에 대한 확대들의 동치류 집합이며, 이는 베어 합 아래 아벨 군을 이룬다.
고차 Ext
2차 이상의 Ext 함자는 n차 확대(완전열 0 → B → Xₙ → Xₙ₋₁ → ⋯ → X₁ → A → 0)들의 동치류 집합으로 정의할 수 있다. 고차 Ext 함자 역시 아벨 군을 이루며, 가법 함자의 성질을 갖는다.
어원
'Ext'는 영어 'extension'(확대)의 약자이다. 이는 Ext 함자가 군의 확대와 관련이 있기 때문이다. 아벨 군 G를 다른 아벨 군 H로 확대한다면, 가능한 확대들은 Ext¹(G, H)와 일대일 대응한다.
성질
만약 M이 사영 가군이거나 N이 단사 가군이라면, 모든 n > 0에 대하여 다음이 성립한다.
Extⁿ(M, N) = 0
또한 Ext 함자는 직합과 곱에 대하여 분배 법칙을 만족한다.
예
벡터 공간
체 K 위의 가군 범주에서 모든 벡터 공간은 사영 가군이자 단사 가군이므로, 0차를 제외한 모든 고차 Ext 함자는 0이다. 즉, Extⁿ(V, W) = 0 (n ≥ 1)이다.
아벨 군
정수환 ℤ 위의 가군 범주에서, 아벨 군 G와 H에 대하여 Ext¹(G, H)는 군의 확대 0 → H → E → G → 0의 동형류와 일대일 대응한다. 모든 아벨 군은 길이가 1 이하인 단사 분해 및 사영 분해를 가지므로, n ≥ 2인 고차 Ext 함자는 모두 0이다.
리 대수 코호몰로지
리 대수 코호몰로지는 리 대수의 보편 포락 대수의 Ext 함자와 같다. 이를 통해 리 군의 드람 코호몰로지를 계산할 수 있다.
층 코호몰로지
위상 공간 X 위의 아벨 군층 \mathcal{F}의 층 코호몰로지는 Ext 함자의 특수한 경우로 표현된다.
Hⁿ(X, \mathcal{F}) = Extⁿ(ℤ̄, \mathcal{F})
여기서 ℤ̄는 정수환값의 상수층이다.
역사와 의의
Ext 함자는 호몰로지 대수학이 1940년대에 독립된 학문 분야로 자리 잡는 과정에서 핵심적인 역할을 한 개념이다. 군 코호몰로지, 리 대수 코호몰로지, 결합 대수의 코호몰로지를 모두 Ext 함자로 정의할 수 있으며, 대수기하학에서 층 코호몰로지 계산에도 사용된다. 특히 1차 Ext 함자는 가군의 확대를 분류하는 도구로서 대수학 전반에서 광범위하게 활용된다.
