Critical Point는 수학, 열역학, 물리학 등 여러 학문 분야에서 사용되는 전문 용어로, 각 분야마다 정의와 적용 맥락이 다르다.
1. 수학 (Mathematics)
수학에서 임계점(critical point)은 함수의 미분값이 0이 되거나 미분이 존재하지 않는 점을 말한다. 구체적으로, 실변수 함수 $ f(x) $에 대해 점 $ x_0 $가 함수의 정의역에 속하고, $ f'(x_0) = 0 $이거나 $ f'(x_0) $가 존재하지 않을 때 $ x_0 $를 임계점이라 한다. 이때 함수값 $ f(x_0) $를 임계값(critical value)이라고 부른다.
- 일변수 함수: 미분가능한 함수의 경우 임계점은 정류점(stationary point)과 동일하며, 그래프에서 접선이 수평이 되는 점에 해당한다. 임계점은 국소 최댓값, 국소 최솟값, 또는 변곡점(inflection point) 중 하나일 수 있다.
- 다변수 함수: 기울기(gradient)가 0이거나 정의되지 않은 점을 임계점으로 정의한다. 헤세 행렬(Hessian matrix)의 고윳값을 통해 극대, 극소, 안장점(saddle point)을 구분한다.
- 미분가능한 사상(differentiable map): 야코비 행렬(Jacobian matrix)의 계수(rank)가 최대가 아닌 점을 임계점으로 정의한다.
- 복소해석학: 해석함수 $ f(z) $에 대해 도함수 $ f'(z) $가 0인 점을 임계점이라 하며, 이 점에서 각도가 $ m+1 $배로 확대된다.
임계점은 최적화 이론(optimization)에서 함수의 극값을 찾는 핵심 도구이며, 모스 이론(Morse theory)과 변분법(variational calculus)의 기초 개념이기도 하다.
2. 열역학 (Thermodynamics)
열역학에서 임계점(critical point)은 상평형 곡선(phase equilibrium curve)의 종점을 의미한다. 가장 대표적인 예는 액체-증기 임계점(liquid–vapor critical point)으로, 액체와 증기가 공존할 수 있는 압력-온도 곡선의 끝점이다. 임계점 이상의 온도와 압력에서는 물질이 초임계 유체(supercritical fluid) 상태가 되어 액체와 기체의 구분이 사라진다.
임계점은 임계 온도(critical temperature, $ T_c $)와 임계 압력(critical pressure, $ p_c $)으로 정의된다. 예를 들어 물(H₂O)의 임계점은 647.096 K (약 373.946 °C) 및 22.064 MPa이다. 이산화탄소(CO₂)의 임계점은 약 304.19 K (31.04 °C) 및 7.38 MPa이다.
임계점 근처에서는 물질의 물리적 성질이 급격히 변화하며, 임계 백탁(critical opalescence) 현상이 관찰된다. 열역학적 관점에서 임계점에서는 $ (\partial p / \partial V)_T = 0 $ 및 $ (\partial^2 p / \partial V^2)_T = 0 $이 성립한다.
역사적으로 임계점의 존재는 1822년 Charles Cagniard de la Tour에 의해 처음 발견되었으며, 1860년대에 Dmitri Mendeleev와 Thomas Andrews에 의해 명명되었다.
3. 기타 분야
- 혼합물의 액체-액체 임계점: 용액의 상분리 한계점으로, 상한 임계 용액 온도(UCST)와 하한 임계 용액 온도(LCST)가 있다.
- 군사 용어: 작전 수행에 중요한 지리적 지점이나 전환점을 의미하기도 한다.
- 자기조직 임계성(self-organized criticality): 통계물리학에서 복잡계가 임계 상태로 자기조직화하는 현상을 설명하는 개념이다.
참고 문헌: Milnor, J. (1963). Morse Theory. Princeton University Press. / IUPAC Gold Book (critical point) / Wikipedia (Critical point (mathematics), Critical point (thermodynamics)) / Encyclopedia of Mathematics (Critical point).
