C* 대수(시스타 대수, 영어: C*-algebra)는 함수해석학에서 다루는 수학 구조로, 대합 대수(involution algebra)와 복소수 바나흐 대수(Banach algebra)의 구조를 서로 호환되게 갖춘 복소수 벡터 공간이다. C* 대수는 힐베르트 공간 위의 유계 작용소 대수에서 추상화된 개념으로, 1940년대 이스라엘 겔판트(Israel Gelfand)와 마르크 나이마르크(Mark Naimark)에 의해 최초로 정의되었다.
정의
C* 대수는 다음과 같은 세 가지 방식으로 정의될 수 있으며, 이들은 모두 서로 동치이다.
추상적 정의: 복소수 벡터 공간 $A$ 위에 다음 두 구조가 주어졌다고 하자.
- $(A, ^)$는 복소수체 위의 (항등원을 갖는) 대합 대수이다. 즉, 임의의 $a \in A$ 및 $\lambda \in \mathbb{C}$에 대하여 $(\lambda a)^ = \bar{\lambda} a^*$이다.
- $(A, |\cdot|)$는 복소수 바나흐 대수이다.
이때 다음 C* 항등식(C* identity)을 만족시키면 C* 대수라고 한다. $$ |x^* x| = |x| |x^*| $$
대수적 정의: 대합 대수 $(A, ^)$에 대하여, 사상 $a \mapsto \sup \operatorname{sp}(a^ a)$가 노름을 이루면 C* 대수라고 한다. 여기서 $\operatorname{sp}(\cdot)$는 스펙트럼을 의미한다.
구체적 정의: 복소수 힐베르트 공간 $\mathcal{H}$ 위의 유계 작용소들의 대수 $\operatorname{B}(\mathcal{H}, \mathcal{H})$로 가는 단사 -준동형이 존재하는 복소수 대합 대수를 C 대수라고 한다. 겔판트-나이마르크 정리(Gelfand–Naimark theorem)에 따르면, 임의의 추상적 C* 대수는 항상 어떤 힐베르트 공간 위의 유계 작용소 대수로 충실히 표현될 수 있다.
주요 성질
- C 대수 사이의 사상*: 두 C* 대수 사이의 (항등원을 보존하는) *-준동형은 항상 노름이 1 이하인 유계 작용소이다. 만약 단사 함수라면 등거리 변환이 된다.
- 스펙트럼: C* 대수의 임의의 원소의 스펙트럼은 항상 공집합이 아니다. 자기 수반 원소(self-adjoint element)의 스펙트럼은 실수 부분집합이며, 유니터리 원소(unitary element)의 스펙트럼은 단위원 ${z \in \mathbb{C} : |z| = 1}$의 부분집합이다.
분류
- 유한 차원 C 대수*: 임의의 유한 차원 C* 대수는 복소수 정사각 행렬 대수들의 직합 $\bigoplus_i \operatorname{Mat}(n_i, n_i; \mathbb{C})$과 동형이다.
- 가환 C 대수*: 겔판트 표현 정리(Gelfand representation theorem)에 따르면, (항등원을 갖는) 가환 C* 대수는 콤팩트 하우스도르프 공간 위의 복소수 연속 함수 대수 $\mathcal{C}^0(X, \mathbb{C})$와 범주적으로 동치이다. 이는 C* 대수 이론의 핵심 결과 중 하나이다.
예
- 자명환: 한원소 집합 위의 유일한 환 구조인 자명환은 0차원 C* 대수이다.
- 유계 작용소 대수: 임의의 복소수 힐베르트 공간 $V$ 위의 모든 유계 작용소들의 집합 $\operatorname{B}(V, V)$는 C* 대수를 이룬다.
- 콤팩트 작용소 대수와 콜킨 대수: 힐베르트 공간 위의 콤팩트 작용소들의 집합 $\operatorname{K}(V, V)$는 $\operatorname{B}(V, V)$의 닫힌 양쪽 아이디얼이며, 그 몫대수 $\operatorname{B}(V, V) / \operatorname{K}(V, V)$를 콜킨 대수(Calkin algebra)라고 한다.
응용
C* 대수 이론은 양자장론을 수학적으로 엄밀하게 정의하려는 시도에 사용된다. 또한, 가환 C* 대수가 콤팩트 하우스도르프 공간에 대응된다는 겔판트 표현에 기초하여, 일반적인 (비가환) C* 대수 역시 일종의 '공간'으로 간주할 수 있으며, 이러한 관점에서 출발한 수학 분야를 비가환 기하학(noncommutative geometry)이라고 한다.
