ARMA(Autoregressive Moving Average) 모델은 시계열 자료를 분석하고 예측하기 위해 사용되는 통계적 모델이다. 이 모델은 두 가지 구성 요소인 자기회귀(autoregressive, AR)와 이동 평균(moving-average, MA) 과정을 결합한다.
정의
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AR(p) 과정: 현재 시점의 값 $X_t$를 이전 $p$ 시점의 값들의 선형 조합으로 표현한다.
$$ X_t = \phi_1 X_{t-1} + \phi_2 X_{t-2} + \dots + \phi_p X_{t-p} + \varepsilon_t $$ 여기서 $\phi_i$는 AR 계수, $\varepsilon_t$는 백색 잡음이다. -
MA(q) 과정: 현재 시점의 값 $X_t$를 현재 및 과거 $q$ 시점의 백색 잡음의 선형 조합으로 나타낸다.
$$ X_t = \mu + \varepsilon_t + \theta_1 \varepsilon_{t-1} + \dots + \theta_q \varepsilon_{t-q} $$ $\theta_j$는 MA 계수, $\mu$는 평균값이다. -
ARMA(p, q) 모델: 위 두 과정을 동시에 적용한다.
$$ X_t = \phi_1 X_{t-1} + \dots + \phi_p X_{t-p} + \varepsilon_t + \theta_1 \varepsilon_{t-1} + \dots + \theta_q \varepsilon_{t-q} $$
주요 특성
- 정상성(Stationarity): ARMA 모델은 기본적으로 정상 시계열을 전제로 한다. 비정상 시계열은 차분(differencing) 등 전처리 과정을 거쳐 정상화한다.
- 모델 차수 선정: 일반적으로 AIC(Akaike Information Criterion), BIC(Bayesian Information Criterion) 등 정보 기준을 사용해 최적의 $(p,q)$ 조합을 선택한다.
- 예측: 모델 파라미터 추정 후, 미래 시점의 값을 조건부 평균으로 예측한다.
활용 분야
- 경제·금융: 주가, 환율, 물가 등 경제 지표의 단기 예측.
- 공학: 신호 처리, 시스템 식별, 품질 관리.
- 기상·환경: 온도, 강수량 등 기후 변수의 단기 예보.
- 보건: 감염병 발생률, 환자 흐름 등의 시계열 분석.
역사적 배경
- AR(자동회귀) 모델은 1920년대에 Yule와 Slutsky가 제안하였다.
- MA(이동 평균) 모델은 1930년대에 Whittle과 Wiener가 연구하였다.
- 두 과정을 통합한 ARMA 모델은 1950년대에 Box와 Jenkins가 체계화한 “Box–Jenkins 방법론”에서 주요한 위치를 차지한다.
모델 한계
- 비정상성, 계절성, 구조적 변동이 있는 시계열에는 ARIMA(차분 포함)·SARIMA(계절성 포함) 등 보다 확장된 모델이 필요할 수 있다.
- 파라미터 추정이 복잡할 경우 과적합(overfitting) 위험이 있다.
관련 모델·확장
- ARIMA(Autoregressive Integrated Moving Average): 차분을 포함해 비정상 시계열을 다룸.
- SARIMA(Seasonal ARIMA): 계절성을 고려.
- ARMA-GARCH: 변동성(heteroskedasticity)를 동시에 모델링.
요약: ARMA 모델은 정상 시계열에 대해 과거 데이터의 자기회귀와 백색 잡음의 이동 평균을 결합한 선형 예측 모델로, 다양한 분야에서 단기 예측 및 시계열 특성 분석에 널리 활용된다.
