ABC 추측(abc conjecture)은 정수론에서 가장 중요한 미해결 문제 중 하나로, 정수의 덧셈과 곱셈 사이의 관계에 관한 추측이다. 1985년 조제프 오스테를레(Joseph Oesterlé)와 데이비드 마서(David Masser)에 의해 제기되었으며, 제안자들의 이름을 따서 오스테를레-마서 추측이라고도 불린다.
개요
ABC 추측은 서로소인 세 양의 정수 $a, b, c$가 $a + b = c$를 만족할 때, 이들의 소인수들의 곱(근치, radical)과 $c$ 사이의 관계를 다룬다. 수의 산술적 구조에서 덧셈적 성질과 곱셈적 성질이 어떻게 연관되는지를 보여주는 근본적인 질문을 담고 있다.
정의
임의의 양의 정수 $n$에 대하여, $n$의 서로 다른 소인수들의 곱을 $n$의 근치라 하며 $\operatorname{rad}(n)$으로 표기한다. 예를 들어, $16 = 2^4$이므로 $\operatorname{rad}(16) = 2$이고, $15 = 3 \times 5$이므로 $\operatorname{rad}(15) = 15$이다.
ABC 추측의 일반적인 형태는 다음과 같다. 모든 $\epsilon > 0$에 대하여, 다음 조건을 만족하는 서로소인 세 양의 정수 $(a, b, c)$의 쌍은 유한개뿐이다. $$c > (\operatorname{rad}(abc))^{1+\epsilon}$$ 여기서 $a + b = c$이다.
의의 및 영향
ABC 추측이 참으로 증명될 경우, 수론의 수많은 난제들이 해결되거나 매우 단순한 결론으로 도출될 수 있다. 대표적으로 다음과 같은 문제들이 ABC 추측의 특수한 경우나 귀결로 간주된다.
- 페르마의 마지막 정리: $n$이 충분히 클 때 $x^n + y^n = z^n$의 정수해가 존재하지 않음을 훨씬 간결하게 설명할 수 있다.
- 카탈랑 추측(Catalan's conjecture): 2002년 미하일레스쿠에 의해 증명되었으나, ABC 추측을 통해 더 일반적인 증명이 가능하다.
- 모델 추측(Mordell conjecture): 팔팅스의 정리를 포함한 여러 대수기하학적 정리들과 밀접한 연관이 있다.
증명 시도
2012년 일본 교토 대학의 모치즈키 신이치 교수가 '우주 간 타이히뮐러 이론(IUT 이론)'을 이용하여 ABC 추측을 증명했다는 내용의 논문 4편(약 500쪽 분량)을 발표하였다. 이 논문은 오랜 검토 끝에 2020년 수학 학술지 'PRIMS'에 게재 승인되었으나, 수학계 전체의 인정을 받지는 못하고 있다.
2018년 필즈상 수상자인 페터 숄체(Peter Scholze)와 야코프 스틱스(Jakob Stix)는 모치즈키의 증명 과정 중 '심각하고 고칠 수 없는 결함(gap)'이 있다고 지적하였다. 이에 대해 모치즈키 교수는 해당 지적이 자신의 이론을 오해한 것이라고 반박하며 대립하고 있다. 현재까지 대다수의 주류 수학계에서는 이 증명을 완전한 것으로 수용하지 않고 있으며, ABC 추측은 여전히 미해결 난제로 분류되는 경우가 많다.