ABC 추측(abc conjecture)은 정수론의 중요한 미해결 문제 중 하나로, 1985년 조제프 외스트를레(Joseph Oesterlé)와 데이비드 매서(David Masser)가 제시한 추측이다. 세 개의 양의 정수 a, b, c (a+b=c) 사이의 관계를 다루며, 이는 정수의 덧셈과 곱셈 구조 사이의 근본적인 연결을 탐구한다.
정의
양의 정수 n의 근기(radical, rad(n))는 n의 서로 다른 소인수들의 곱으로 정의된다. 예를 들어 rad(12) = 2 × 3 = 6이다.
ABC 추측은 다음과 같이 공식화된다: 임의의 양의 실수 ε > 0에 대하여, 다음 조건들을 만족시키는 양의 정수 순서쌍 (a, b, c)는 오직 유한 개만 존재한다:
- a, b, c는 서로소(relatively prime)이다.
- a + b = c이다.
- c > rad(abc)^{1+ε}
동등한 표현으로: 임의의 ε > 0에 대하여, c < K_ε · rad(abc)^{1+ε}를 만족하는 상수 K_ε가 존재한다. 여기서 K_ε는 a, b, c에 의존하지 않고 ε에만 의존하는 상수이다.
또한, 세 수 a, b, c의 '질량'(quality) q(a,b,c) = log(c) / log(rad(abc))를 정의하여, q > 1+ε인 순서쌍이 유한개라는 형태로도 표현할 수 있다.
역사
1985년에 데이비드 매서가 발표하였고, 1988년에 조제프 외스트를레가 이를 재발견하였다. 이 추측은 처음에는 타원곡선에 관한 스피로 추측(Szpiro's conjecture)을 이해하려는 시도에서 비롯되었으며, 이후 수정된 스피로 추측과 동등함이 밝혀졌다.
2007년 프랑스의 수학자 뤼시앙 스피로(Lucien Szpiro)가 ABC 추측의 증명을 발표하였으나 곧 오류가 발견되었다. 2012년 8월, 일본 교토대학의 모치즈키 신이치(Shinichi Mochizuki)가 자신이 개발한 '범우주 타이히뮐러 이론'(Inter-universal Teichmüller Theory, IUTT)을 통해 ABC 추측의 증명을 발표하였다. 2012년 10월 모치즈키의 증명에서 일부 오류가 발견되었으나, 그는 비교적 사소한 오류라고 답변하고 교정하였다.
2018년, 페터 숄체(Peter Scholze, 2018년 필즈상 수상자)와 야코프 스틱스(Jakob Stix)는 교토대학을 방문하여 모치즈키와 논의하였으나 의견 차이를 좁히지 못했다. 숄체와 스틱스는 증명의 논리적 문제점을 지적하며 "공백이 너무도 심각해서 간단한 수정으로는 증명을 살려낼 수 없을 것"이라고 주장하였다. 모치즈키는 이들이 자신의 이론을 잘못 이해한 것이라고 반박하였다.
2020년 4월, 교토대학 수리해석연구소(RIMS)는 모치즈키의 증명이 확인되어 해당 연구소가 운영하는 학술지 PRIMS(Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences)에 게재될 것이라고 발표하였다. 다만 해당 학술지의 편집장이 모치즈키 자신이라는 점이 지적되었다. 2021년 3월, 모치즈키의 증명 논문이 PRIMS에 공식 게재되었다. 그러나 수학계 주류는 여전히 이 증명을 받아들이지 않고 있으며, ABC 추측은 현재까지도 미해결 문제로 간주된다.
의의와 파급 효과
ABC 추측이 증명될 경우, 다음과 같은 수많은 정리들의 새로운 증명이나 일반화가 가능해진다:
- 페르마의 마지막 정리(Fermat's Last Theorem) - n ≥ 6인 경우 매우 간결한 증명이 가능
- 로스의 정리(Roth's theorem)
- 모델 추측(Mordell conjecture, 팔팅스가 이미 증명)
- 비얼 추측(Beal conjecture)
- 에르되시-울람 문제(Erdős–Ulam problem)
- 티데만의 정리(Tijdeman's theorem) 및 필라이 추측(Pillai's conjecture)
- 시겔 영점(Siegel zero)의 부재 증명
- 랭 추측(Lang's conjecture)
- 마셜 홀 추측(Marshall Hall's conjecture)
수학자 도리안 골드펠드(Dorian Goldfeld)는 ABC 추측을 "디오판토스 해석학에서 가장 중요한 미해결 문제"라고 평가하였다.
ABC@Home 프로젝트
2006년, 네덜란드 라이덴 대학교는 ABC@Home이라는 분산 컴퓨팅 프로젝트를 시작하여 rad(abc) < c인 순서쌍 (a, b, c)를 체계적으로 탐색하였다. 2014년 5월 기준으로 약 2,380만 개의 삼중쌍이 발견되었다. 현재까지 발견된 가장 높은 질량(q)의 순서쌍은 q=1.6299로, a=2, b=3^{10}·109, c=2^{35}인 경우이다.
알려진 부분적 결과
ABC 추측은 완전히 증명되지는 않았으나, 다음과 같은 약한 형태의 결과들이 알려져 있다:
- c < exp(K₁ · rad(abc)^{15}) (Stewart & Tijdeman, 1986)
- c < exp(K₂ · rad(abc)^{2/3+ε}) (Stewart & Yu, 1991)
- c < exp(K₃ · rad(abc)^{1/3} · (log rad(abc))³) (Stewart & Yu, 2001)
또한, 반대로 c > rad(abc) · exp(k√(log c)/log log c)를 만족하는 순서쌍이 무한히 존재한다는 하계 결과도 알려져 있다(Stewart & Tijdeman, 1986; van Frankenhuysen, 2000).
관련 개념
ABC 추측은 다항식에 대한 메이슨-스토더스 정리(Mason-Stothers theorem)의 정수론적 유추에 해당한다. 또한 브로킨과 브제진스키(Browkin & Brzeziński, 1994)가 제안한 n개의 정수에 대한 n-추측(n-conjecture)으로 일반화되기도 한다.
