4차원 정다포체(四次元 正多胞體, 4-dimensional regular polychoron)는 기하학에서 4차원 공간에 존재하는 정다포체를 의미한다. 정다면체를 4차원으로 확장한 개념으로, 모든 면(3차원의 포, cell)이 합동인 정다면체로 이루어져 있으며, 각 모서리에서 만나는 입체의 개수가 일정한 도형을 말한다.
볼록 4차원 정다포체
4차원의 볼록 정다포체는 총 6개가 존재한다. 이는 3차원의 정다면체가 5개뿐인 것과 유사한 이유에서 비롯되며, 각 정다면체의 이면각을 계산하여 증명할 수 있다.
| 이름 | 슐레플리 기호 | 꼭짓점 | 모서리 | 면 | 포(셀) |
|---|---|---|---|---|---|
| 정오포체 (5-cell) | {3,3,3} | 5 | 10 | 10 | 5 |
| 정팔포체 (tesseract, 8-cell) | {4,3,3} | 16 | 32 | 24 | 8 |
| 정십육포체 (16-cell) | {3,3,4} | 8 | 24 | 32 | 16 |
| 정이십사포체 (24-cell) | {3,4,3} | 24 | 96 | 96 | 24 |
| 정백이십포체 (120-cell) | {5,3,3} | 600 | 1200 | 720 | 120 |
| 정육백포체 (600-cell) | {3,3,5} | 120 | 720 | 1200 | 600 |
이들 중 정오포체, 정팔포체, 정십육포체는 각각 3차원의 정사면체, 정육면체, 정팔면체에 대응된다. 정백이십포체와 정육백포체는 각각 정십이면체와 정이십면체에 대응된다. 정이십사포체는 3차원에 대응되는 정다면체가 없으며, 5차원 이상에서는 정규 테셀레이션(벌집)이 되는, 오직 4차원에만 존재하는 고유한 정다포체이다.
오목 4차원 정다포체 (슐레플리-헤스 다포체)
케플러-푸앵소 다면체의 4차원 확장 개념으로, 총 10가지가 존재한다. 슐레플리 기호에 유리수가 포함되는 것이 특징이며, 모두 정백이십포체나 정육백포체를 응용하여 만들어진다. 이들의 슐레플리 기호는 {5/2,5,3}, {5/2,3,5}, {5/2,3,3}, {5/2,5,5/2}, {3,5,5/2}, {5,3,5/2}, {3,3,5/2}, {5,5/2,5}, {3,5/2,5}, {5,5/2,3}의 10가지이다.
성질
볼록 정다포체의 오일러 지표(V - E + F - C)는 항상 0이다. 4차원 정다포체의 이포각(4차원에서의 이면각)은 정오포체 약 75.52°, 정팔포체 90°, 정십육포체와 정이십사포체 120°, 정백이십포체 144°, 정육백포체 약 164.48°이다.
차원별 특이성
단체(simplex), 초입방체(hypercube), 정축체(orthoplex)가 아닌 볼록 정다포체는 4차원 유클리드 공간까지만 존재한다. 5차원 이상에서는 볼록 정다포체가 오직 3종(단체, 초입방체, 정축체)만 존재하며, 오목 정다포체 역시 5차원 이상에서는 존재하지 않는다.
