2차원 실수 특수선형군(二次元實數特殊線型群, 영어: 2×2 real special linear group, SL(2, ℝ) 또는 SL₂(ℝ))은 행렬식이 1인 2×2 실수 행렬 전체의 집합에 행렬 곱셈을 군 연산으로 부여하여 얻어지는 리 군이다. 기호로는 다음과 같이 정의된다.
$$ \operatorname{SL}(2,\mathbb{R}) = \left{ \begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix} : a,b,c,d \in \mathbb{R},; ad-bc = 1 \right} $$
기본 성질
SL(2, ℝ)은 연결 비콤팩트 단순 실수 리 군이며, 리 군으로서의 차원은 3이다. 즉, 3차원 매끄러운 다양체의 구조를 가지나 콤팩트하지 않다. 이 군은 아벨 군이 아니며, 중심은 {±I} (I는 2×2 단위행렬)이다. 중심에 대한 몫군 PSL(2, ℝ) = SL(2, ℝ) / {±I}는 단순군이다.
동형인 군들
다음 군들은 서로 동형이다:
- SL(2, ℝ) (2×2 실수 특수선형군)
- Sp(2, ℝ) (2×2 실수 심플렉틱 군)
- SU(1,1) (부정부호 특수 유니터리 군)
- Spin⁺(2,1) (3차원 스핀 군)
또한 PSL(2, ℝ)은 다음 군들과 동형이다:
- 복소수 상반평면 ℍ = {z ∈ ℂ : Im(z) > 0}의 등각 자기 동형군
- 단위 원판 𝔻 = {z ∈ ℂ : |z| < 1}의 등각 자기 동형군
- 3차원 민코프스키 공간의 로런츠 군의 연결 성분 SO⁺(2,1)
- 실수 사영 직선 ℝℙ¹ = ℝ ∪ {∞}의 방향 보존 사영 변환군
상반평면 위의 작용
PSL(2, ℝ)은 복소수 상반평면 ℍ 위에 선형 분수 변환(뫼비우스 변환)으로 작용한다.
$$ \begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix} : z \mapsto \frac{az+b}{cz+d} $$
이는 쌍곡 기하학에서 상반평면 모형의 등거리 변환군을 이룬다.
원소의 분류
SL(2, ℝ)의 원소는 대각합(trace)에 따라 세 종류로 분류된다.
- 타원형 원소(elliptic): |tr(M)| < 2. 고윳값이 단위원 위의 복소수 켤레 쌍이며, 평면의 회전 변환에 켤레이다.
- 포물선형 원소(parabolic): |tr(M)| = 2. 고윳값이 1 또는 -1 하나뿐이며, 평면의 전단 변환(shear)에 켤레이다.
- 쌍곡선형 원소(hyperbolic): |tr(M)| > 2. 고윳값이 서로 역수 관계인 두 실수이며, 평면의 squeeze 변환에 켤레이다.
위상수학적 성질
위상수학적으로 PSL(2, ℝ)은 상반평면 ℍ의 단위 접다발(unit tangent bundle)과 위상동형이며, 원 S¹과 호모토피 동치이다. 따라서 기본군 π₁(PSL(2, ℝ)) ≅ ℤ이다. SL(2, ℝ)의 범피복 공간 $\widetilde{\operatorname{SL}(2,\mathbb{R})}$은 유한 차원 행렬 표현을 가지지 않는 리 군의 대표적 예이며, 왼쪽 불변 리만 계량을 부여할 경우 서스턴(Thurston)의 8개 3차원 기하 중 하나를 이룬다.
표현론
SL(2, ℝ)의 유한 차원 표현론은 SU(2)의 유한 차원 표현론과 동형이며, 각 음이 아닌 정수 n에 대하여 2n+1차원 기약 표현이 존재한다. 이들은 (자명 표현을 제외하면) 모두 유니터리 표현이 아니다. 무한 차원 표현론은 더욱 풍부하며, 바르크만(Bargmann), 겔판트-나이마르크(Gelfand–Naimark), 하리시-찬드라(Harish-Chandra) 등에 의해 완전히 분류된 이산열 표현(discrete series), 주열 표현(principal series) 등이 존재한다.
활용
SL(2, ℝ)은 수학의 여러 분야(기하학, 위상수학, 표현론, 정수론)와 물리학(특히 3차원 민코프스키 공간의 로런츠 군과의 관계를 통해 상대성 이론)에 널리 등장하는 기본적인 리 군이다. PSL(2, ℤ)는 모듈러 군(modular group)으로서 정수론에서 핵심적인 역할을 한다.
