1의 거듭제곱근(영어: root of unity)은 거듭제곱하여 1이 되는 복소수를 의미한다. 즉, 0이 아닌 복소수의 곱셈군에서 꼬임 부분군의 원소에 해당한다.
정의
자연수 n에 대하여, 1의 n제곱근(nth root of unity)은 그 n제곱이 1인 복소수이다. 즉, 방정식
$$ z^n = 1 $$
을 만족하는 복소수 z를 말한다. 드 무아브르 공식(De Moivre's formula)에 의하여 1의 n제곱근은 다음과 같이 표현된다.
$$ \exp\left(\frac{2\pi i k}{n}\right) = \cos\frac{2\pi k}{n} + i\sin\frac{2\pi k}{n}, \quad k = 0, 1, 2, \dots, n-1 $$
1의 n제곱근은 복소평면의 단위원 위에 정n각형의 꼭짓점으로 배열되며, 항상 n개가 존재한다.
원시근
1의 n제곱근 중에서, 더 작은 자연수 m에 대하여 m제곱하여 1이 되지 않는 것을 1의 원시 n제곱근(primitive nth root of unity)이라고 한다. 예를 들어, $\zeta_n = e^{2\pi i / n}$은 1의 원시 n제곱근이며, n과 서로소인 정수 k에 대하여 $\zeta_n^k$ 역시 원시근이 된다. 따라서 1의 원시 n제곱근의 개수는 오일러 피 함수 $\varphi(n)$개이다.
일반화
보다 일반적으로, 체 K에서 1의 거듭제곱근은 그 곱셈군 $K^\times = K \setminus {0}$의 꼬임 부분군의 원소로 정의된다. 예를 들어 유리수체 $\mathbb{Q}$에서 1의 거듭제곱근은 ±1뿐이다.
주요 성질
- 1의 n제곱근 전체는 곱셈에 대하여 위수 n인 순환군을 이룬다.
- 1의 모든 거듭제곱근 전체는 곱셈에 대하여 아벨 군을 이룬다.
- 1의 n제곱근은 원분 다항식(cyclotomic polynomial) $\Phi_n(x)$의 근으로 나타낼 수 있으며, $\Phi_n(x)$는 유리수 위에서 기약 다항식이다.
- 1의 거듭제곱근은 이산 푸리에 변환(DFT), 신호 처리, 정수론, 갈루아 이론 등 다양한 수학 및 공학 분야에서 핵심적인 역할을 한다.
예시
| n | 1의 n제곱근 (원시근 포함) |
|---|---|
| 1 | 1 |
| 2 | 1, -1 |
| 3 | $1,\ \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$ |
| 4 | $1,\ -1,\ i,\ -i$ |
| 5 | $1,\ \frac{-1+\sqrt{5} \pm i\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4},\ \frac{-1-\sqrt{5} \pm i\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}$ |
| 6 | $1,\ -1,\ \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2},\ \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$ |
1의 세제곱근의 허근 중 하나는 흔히 $\omega$(오메가)로 표기되며, $\omega^2 + \omega + 1 = 0$ 및 $\omega^3 = 1$의 성질을 가진다. 이는 고등학교 수학에서 삼차방정식의 허근을 다룰 때 자주 활용된다.
