정의
이 식은 첫째 항이 $ \frac{1}{4} $이고 공비가 $ \frac{1}{4} $인 무한등비급수이다. 일반 형태는
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{4}\right)^{n} $$
또는
$$ \frac{1}{4} + \frac{1}{4^{2}} + \frac{1}{4^{3}} + \frac{1}{4^{4}} + \cdots $$
과 같이 표기한다.
수렴성 및 합
공비 $|r| = \frac{1}{4} < 1$이므로 급수는 수렴한다. 무한등비급수의 합은
$$ S = \frac{a}{1 - r} $$
where $a$는 첫째 항, $r$은 공비이다. 여기서는
$$ S = \frac{\frac{1}{4}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}} = \frac{1}{3}. $$
따라서
$$ \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{64} + \frac{1}{256} + \dots = \frac{1}{3}. $$
활용 예시
- 수학 교육: 등비급수의 개념을 설명할 때 종종 사용되는 간단한 예시이다.
- 확률 및 통계: 무한히 반복되는 독립 사건에서 각 사건이 발생할 확률이 일정하게 감소하는 경우 모델링에 적용될 수 있다.
- 공학 및 물리: 신호 감쇠, 전기 회로에서의 저항 감소 등, 일정 비율로 감소하는 현상을 표현한다.
관련 개념
- 등비급수 (Geometric series)
- 무한급수의 수렴판정 기준 (예: 비율시험)
- 급수의 합 공식
참고
위 내용은 일반적인 수학 교과서와 수학 참고서에 기술된 이론에 기반한다. 어떠한 특수한 명칭이나 고유한 용어로서 널리 알려진 개념은 아니다.
