해석학에서 횔더 연속 함수(Hölder連續函數, 영어: Hölder-continuous function)는 두 점 사이의 거리를 일정 거듭제곱 이상으로 증가시키지 않는 함수이다. 립시츠 연속 함수의 개념을 일반화한 것으로, 독일의 수학자 오토 횔더(Otto Hölder)가 1882년 박사학위 논문에서 도입하였다.
정의
두 거리 공간 $(X, d_X)$, $(Y, d_Y)$와 음이 아닌 실수 $\alpha \in [0, \infty)$가 주어졌을 때, 함수 $f: X \to Y$가 다음 조건을 만족하면 $\alpha$-횔더 연속 함수라고 한다.
- 모든 $x, x' \in X$에 대하여, $d_Y(f(x), f(x')) \leq C , d_X(x, x')^\alpha$를 만족하는 상수 $C > 0$가 존재한다.
만약 임의의 콤팩트 집합 $K \subseteq X$에 대해서만 위 조건이 성립하면 국소 $\alpha$-횔더 연속 함수라고 한다.
성질
- 0-횔더 연속 함수는 유계 함수이며, 1-횔더 연속 함수는 립시츠 연속 함수이다.
- 임의의 $\alpha > 0$에 대하여, $\alpha$-횔더 연속 함수는 연속 함수이다.
- 정의역 $X$가 콤팩트 공간일 때, $0 < \alpha \leq \beta < \infty$이면 $C^{0,\beta}(X,Y) \subseteq C^{0,\alpha}(X,Y)$의 포함 관계가 성립한다. 즉, 횔더 지수가 클수록 더 강한 조건이며, 작은 지수에 대해서는 자동으로 횔더 연속이 된다.
예
- 함수 $x \mapsto x^\beta$ ($\beta > 0$)는 $0 < \alpha \leq \beta$일 때 $\alpha$-횔더 연속 함수이지만, $\alpha > \beta$일 때는 아니다.
- 함수 $x \mapsto 1/\ln x$ ($x>0$), $0 \mapsto 0$은 $[0, 1/2]$에서 연속 함수이지만, 임의의 $\alpha < \infty$에 대하여 $\alpha$-횔더 연속 함수가 아니다.
- 전사 $1/2$-횔더 연속 함수 $[0,1] \to [0,1]^2$가 존재한다(페아노 곡선의 일종). 그러나 $\alpha > 1/2$인 전사 $\alpha$-횔더 연속 함수는 존재할 수 없다.
횔더 연속 함수는 편미분방정식 이론, 함수해석학, 확률론 등 여러 수학 분야에서 함수의 매끄러움 정도를 측정하는 데 널리 사용된다. 횔더 연속 함수들의 공간은 횔더 공간(Hölder space)이라고 불리며, $C^{0,\alpha}$ 또는 $C^\alpha$로 표기한다.
