회전(回轉, rotation) 또는 회전 이동은 기하학에서 하나의 점(고정점)을 중심으로 같은 각도만큼 도형을 회전시키는 함수를 가리킨다. 이는 고정점을 가지는 아핀 변환의 일종으로, 강체(rigid body)가 한 점을 중심으로 회전하는 것으로 이해할 수 있다. 회전은 각도를 가지며, 일반적으로 시계 방향을 음수, 반시계 방향을 양수로 표현한다.
회전 이동은 고정점이 없는 평행 이동(translation)이나 고정점의 집합이 초평면인 대칭 이동(reflection)과는 구별된다.
수학적 정의
회전은 수학적으로 사상(map)으로 정의된다. 고정점을 가지는 모든 회전은 공간에서 회전군(rotation group)이라는 군(group)을 이룬다. 역학이나 물리학에서는 회전의 개념을 좌표 변환으로 다루기도 한다.
용어
- 회전군(rotation group): 고정점에 대한 회전의 리군(Lie group)이다. 고정점은 '회전의 중심'이라 하며 대부분의 경우 원점으로 간주된다.
- 회전의 축(axis): 고정점을 지나는 직선이다. n > 2차원일 때만 존재한다.
- 회전의 평면(plane): 회전에 대한 불변량인 평면이다. 축과는 다르게 각 점들이 서로 고정되어 있지 않다. 회전축과 회전의 평면은 직교한다.
2차원에서의 회전
2차원에서 회전을 생각할 때 회전각(θ)을 결정할 수 있다. 원점을 중심으로 각 θ만큼 반시계 방향으로 회전하는 경우를 기준으로 한다. 회전을 기술하기 위해 행렬과 복소수를 이용한다.
선형대수학적 표현
회전하는 점 (x, y)를 벡터로 생각하여 각 θ만큼 회전시켜 (x', y')이 되는 것을 행렬 곱셈으로 나타내면 다음과 같다.
$$ \begin{bmatrix} x' \ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix} $$
즉, $$ x' = x\cos\theta - y\sin\theta, \quad y' = x\sin\theta + y\cos\theta $$
두 벡터 (x, y)와 (x', y')는 같은 크기(길이)를 가진다.
복소수를 이용한 표현
평면 상의 점 (x, y)는 복소수 $z = x + iy$로 표현된다. 오일러 공식을 이용하면 각 θ만큼의 회전은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
$$ e^{i\theta}z = (\cos\theta + i\sin\theta)(x + iy) = x' + iy' $$
3차원에서의 회전
3차원에서의 회전은 2차원과 달리 하나의 1차원 축(회전축)을 고정시키고, 그 축에 수직인 평면에서 회전이 일어난다. 오일러의 회전 정리(Euler's rotation theorem)에 따르면, 3차원 공간에서 강체의 한 점이 고정된 상태를 유지하는 모든 변위는 그 고정점을 통과하는 어떤 축을 중심으로 한 하나의 회전과 동등하다.
3차원 회전은 일반적으로 교환 법칙이 성립하지 않는다. 즉, 회전을 적용하는 순서에 따라 최종 결과가 달라진다.
회전의 성질
회전은 다음과 같은 성질을 가진다.
- 거리 보존: 회전 전후의 두 점 사이의 거리는 변하지 않는다.
- 각도 보존: 회전 전후의 두 벡터 사이의 각도는 일치한다.
- 방향 보존: 회전은 방향(orientation)을 보존하는 변환이다(대칭 이동과의 차이점).
회전변환행렬
회전변환행렬(rotation matrix)은 선형 변환에서 임의의 행렬을 원점을 중심으로 회전시키는 행렬이다. 2차원에서의 기본 회전행렬은 위에서 언급한 바와 같으며, 3차원에서는 각 축(x, y, z)에 대한 회전행렬이 각각 정의된다. 회전변환행렬은 컴퓨터 그래픽스, 로봇 공학, 항공우주 공학 등 다양한 분야에서 응용된다.
같이 보기
- 평행 이동
- 대칭 이동(반사)
- 회전군
- 오일러 각도
- 회전변환행렬
