확률질량함수(確率質量函數, probability mass function, PMF)는 이산 확률 변수(discrete random variable)에서 특정 값이 나타날 확률을 나타내는 함수이다. 확률 변수가 가질 수 있는 각각의 값에 대하여 0과 1 사이의 확률을 할당하며, 모든 가능한 값에 대한 확률의 합은 1이 된다.
이 개념은 연속 확률 변수에서 사용되는 확률 밀도 함수(probability density function, PDF)와 대응되는 개념으로, 이산적인 값들로 이루어진 확률 분포를 다룰 때 핵심적인 역할을 한다.
수학적으로, 확률 변수 $X: S \to \mathbb{R}$가 표본 공간 $S$에 의해 정의되는 이산 확률 변수일 때, 확률질량함수 $f_X(x): \mathbb{R} \to [0, 1]$는 다음과 같이 정의된다.
$$ f_X(x) = \Pr(X = x) = \Pr({ s \in S : X(s) = x }) $$
즉, 확률 변수 $X$가 특정 값 $x$를 가질 확률을 의미한다.
예시: 공정한 주사위를 한 번 던질 때 나오는 눈의 값을 확률 변수 $X$라 하면, 각 눈(1부터 6까지)이 나올 확률은 모두 동일하므로 확률질량함수는 다음과 같다.
$$ f_X(x) = \frac{1}{6}, \quad x \in {1, 2, 3, 4, 5, 6} $$
확률질량함수는 확률론, 통계학, 데이터 과학, 기계 학습 등 여러 분야에서 이산 확률 분포(예: 베르누이 분포, 이항 분포, 포아송 분포 등)를 기술하고 분석하는 데 널리 사용된다.
