호지 추측(Hodge conjecture)은 대수기하학 및 복소다양체 이론에서 제기된 주요 미해결 문제 중 하나이다. 1950년 영국의 수학자 웰러드 베이즈 데이비드 호지(W. V. D. Hodge)가 제시했으며, 복소다양체의 코호몰로지 클래스 중에서 (p,p)형을 갖는 호지 클래스를 대수적 사이클에 의해 나타낼 수 있다는 내용을 담고 있다.
구체적으로, 복소다양체 $X$의 $2p$ 차 동형사상군 $H^{2p}(X, \mathbb{Q})$ 안에 있는 호지 클래스(즉, $H^{p,p}(X) \cap H^{2p}(X, \mathbb{Q})$에 속하는 클래스)가 복소다양체 $X$ 안의 차원 $p$ 대수적 사이클에 해당하는 코사이클 클래스로 표현될 수 있는지 여부를 묻는다.
호지 추측은 2000년 클레이 수학 연구소(Clay Mathematics Institute)가 제시한 “밀레니엄 문제(Millennium Problems)” 중 하나이며, 이를 증명하거나 반증하는 데 성공한 경우 100만 달러의 상금을 받을 수 있다. 현재까지는 다음과 같은 제한된 경우에 대해 부분적인 결과가 알려져 있다.
- 차원 1인 경우(곡선)와 차원 2인 경우(표면)에서는 이미 증명되어 있다.
- 특정 종류의 대수다양체(예: 아벨리안 다양체, 켈러 다양체 등)에서는 부분적으로 성립함이 확인되었다.
- 그러나 일반적인 차원·차수의 복소다양체에 대해서는 아직 증명되지 않았으며, 반례도 발견되지 않았다.
이 추측은 대수기하학, 복소해석학, 토포로지 등 여러 수학 분야와 깊은 연관을 가지고 있어, 관련 연구는 현대 수학의 중심적인 탐구 주제 중 하나로 자리 잡고 있다. 현재까지는 전 세계 여러 수학자가 다양한 접근법을 시도하고 있으나, 문제 자체는 아직 해결되지 않은 상태이다.
