호지 구조(Hodge構造, 영어: Hodge structure)는 대수기하학의 한 분야에서 사용되는 수학적 개념으로, 켈러 다양체 위에서 호지 이론(Hodge theory)에 따라 주어지는 코호몰로지의 분해 구조를 추상화한 것이다. 이는 20세기 중반 영국의 수학자 윌리엄 밸런스 더글러스 호지(William Vallance Douglas Hodge)의 이름에서 유래하였다.
정의 개요
호지 구조는 크게 순수 호지 구조(pure Hodge structure)와 혼합 호지 구조(mixed Hodge structure)로 구분된다.
순수 호지 구조는 무게(weight) n을 가지는 구조로, 자유 아벨 군 H와 복소수 벡터 공간 H⊗ℂ 위의 유한 감소 여과(filtration)로 구성된다. 이 여과는 p+q=n+1일 때 F^p ∩ F̄^q = {0}이고 F^p ⊕ F̄^q = H⊗ℂ를 만족시켜야 한다. 이를 통해 코호몰로지 공간은 H^p,q 성분들의 직합으로 분해되며, 이때 H̄^p,q ≅ H^q,p가 성립한다. 각 성분의 차원을 호지 수(Hodge number)라고 한다.
혼합 호지 구조는 아벨 군 H 위에 호지 여과(Hodge filtration)와 무게 여과(weight filtration)를 함께 부여한 구조로, 각 무게 등급(grade)이 순수 호지 구조를 이루도록 요구된다. 이 개념은 피에르 들리뉴(Pierre Deligne)가 1970년경에 도입하였다.
다양체에서의 호지 구조
콤팩트 켈러 다양체(또는 복소수체 위의 비특이 완비 사영 대수다양체) X의 복소수 계수 특이 코호몰로지 H^k(X;ℂ)는 호지 이론에 따라 다음과 같이 분해된다.
H^k(X;ℤ) ⊗ ℂ = ⨁_{p+q=k} H^{p,q}(X)
이는 무게 n의 순수 호지 구조를 이룬다. 보다 일반적으로, 특이점을 가지는 대수다양체나 완비가 아닌 다양체의 경우에도 혼합 호지 구조가 자연스럽게 정의될 수 있다.
관련 개념
호지 구조의 변동(variation of Hodge structure)은 복소다양체로 매개변수화된 호지 구조들의 족으로, 필립 그리피스(Phillip Griffiths)가 도입하였다. 호지 가군(Hodge module)은 호지 구조들의 층으로 생각할 수 있는 개념으로, 사이토 모리히코(斎藤盛彦)가 도입하였다.
의의
호지 구조는 대수기하학과 위상수학을 연결하는 핵심 도구로, 다양체의 기하학적·위상수학적 성질을 이해하는 데 중요한 역할을 한다. 이와 관련된 호지 추측(Hodge conjecture)은 클레이 수학연구소가 제시한 밀레니엄 문제 중 하나로, 아직 해결되지 않은 난제로 남아 있다.
